B-树和B+树

部分内容转自：http://jameswxx.iteye.com/blog/251173

在大型文件系统中，采用索引可以有效的提高查找的效率，建立文件时，在输入数据记录的同时，建立一张索引表，每个索引表项记录相应数据块的地址。检索文件记录时，先将外存上的索引表读入内存，从索引表中查到数据记录的地址后，再将相应的记录读入内存。如果文件中的数据在使用过程中记录变化较多，则要频繁地对索引表进行插入和删除操作，这时对索引表采用树型结构较好。但是如果文件系统很大，则索引表也往往很大，需分块读入内存，若采用二叉查找树的结构，仍需多次访问外存，而访问外存的代价很大，为了减少访问外存的次数，就应尽量减少索引表的深度。简要介绍一下广泛应用于大型文件系统中的B-树。

B-树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。
    定义：一棵m阶的B-树，或者为空树，或为满足下列特性的m叉树：
⑴树中每个结点至多有m棵子树；
⑵若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；
⑶除根结点之外的所有非终端结点至少有ém/2ù 棵子树；
⑷所有的非终端结点中包含以下信息数据：（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
其中：Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki<Ki+1，Ai为指向子树根结点的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1所指子树中所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An所指子树中所有结点的关
键码均大于Kn， ém/2ù -1≤n≤m -1 ，n为关键码的个数。

⑸所有的叶子结点都出现在同一层次上，并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。
如：（M=3）

【查找分析】
B-树的查找是由两个基本操作交叉进行的过程，即
   ⑴在B-树上找结点；    ⑵在结点中找关键码。
    由于，通常B-树是存储在外存上的，操作⑴就是通过指针在磁盘相对定位，将结点信息读入内存，之后，再对结点中的关键码有序表进行顺序查找或折半查找。因 为，在磁盘上读取结点信息比在内存中进行关键码查找耗时多，所以，在磁盘上读取结点信息的次数，即B-树的层次树是决定B-树查找效率的首要因素。

【插入】
    在B-树上插入关键码与在二叉排序树上插入结点不同，关键码的插入不是在叶结点上进行的，而是在最底层的某个非终端结点中添加一个关键码，若该结点上关键 码个数不超过m-1个，则可直接插入到该结点上；否则，该结点上关键码个数至少达到m个，因而使该结点的子树超过了m棵，这与B-树定义不符。所以要进行 调整，即结点的“分裂”。方法为：关键码加入结点后，将结点中的关键码分成三部分，使得前后两部分关键码个数个结点将其插入到父结点中。若插入父结点而使父结点中关键码个数超过m-1，则父结点继续分裂，直到插入某个父结点，其关键码个数小于m。可见，B-树是从底向上生长的。

【删除】
    分两种情况：

(1)删除最底层结点中关键码左兄弟 时，与右兄弟合并。由于两个结点合并后，父结点中相关项不能保持，把相关项也并入合并项。若此时父结点被破坏，则继续调整，直到根。如删去图9.16 (h)中7，得图9.18。

(2)删除为非底层结点中关键码
    若所删除关键码非底层结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键码X替代Ki，然后，再删除关键码X，直到这个X在最底层结点上，即转为(1)的情形。
    删除程序。

B+树

       B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

       1.其定义基本与B-树同，除了：

       2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

       3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；

       5.为所有叶子结点增加一个链指针；

       6.所有关键字都在叶子结点出现；

       如：（M=3）

   B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

       2.不可能在非叶子结点命中；

       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

       4.更适合文件索引系统；