B树 B+树 B*树

1 B 树：
一棵m阶的B树，约束条件如下：
a 树中一个节点最多有m棵子树，这也是m阶的含义。
b 若根节点有孩子，至少有两棵子树。
c 除根节点之外的所有非叶子节点至少有[m/2](上界) 棵子树。
d 所有的非终端节点包括的信息有：
n(该节点含有的关键字数目)，索引指针A0，关键字K1,索引指针A1，关键字K2...,关键字Kn,索引指针An
也就是说有n个关键字，会有n+1个索引指针，指向其孩子节点。并且，A0所指的孩子节点的关键字均小于K1，A1所指的孩子节点关键字均大于K1
显然n的范围： [m/2]到m-1的闭区间。
e 所有的叶子节点都出现在同一层次上，并且不带信息。即叶子节点不存关键字，是查找失败的节点，实际上不存在，只是一个虚拟的概念。


从上述定义可以看到，实际上B树只有非叶子节点才存储数据，并且，一个非叶子节点，含有的关键字数目的范围限制在[m/2]到m-1的闭区间，因为子树的范围是关键字数目+1。一个非叶节点，如果有K个关键字，那么就会有k+1棵子树。

在B树中查找一个关键字的过程：

可以看出，B树是一个多路的搜索树，查找过程与二叉搜索树类似。而且B树是一个完全平衡的树，所有的叶子节点都是在最后一层。

插入一个节点：
首先通过搜索找到这个节点被插入的位置，即一个虚拟的叶子节点所属的非终端节点。然后将节点加入到该非终端节点中。如果这个非终端节点关键字的数目超过了m-1，需要将该节点分裂为两个。分裂的时候要考虑父节点能够容纳的子节点数目，分裂导致超过了父节点容纳的子节点数，同样也需要对父节点进行分裂。

删除一个节点：
同样，通过搜索找到该节点，并从中删除。假设删除了非终端节点中的Ki，则Ai指向大于Ki的子树，显然Ai指向子树中的最小关键字Y可以代替要删除的Ki，最后删除Y即可。

如果该节点为最下层的非终端节点，并且其中的关键字数目不少于[m/2]（上界），则删除完成。否则需要进行合并。

对B树的维护是合并与分裂操作，使得B树在查找时有较好的性能。

2 B+树：

一棵m阶的B+树，约束条件如下：
a 树中一个节点最多有m棵子树，这也是m阶的含义。
b 若根节点有孩子，至少有两棵子树。
c 除根节点之外的所有非叶子节点至少有[m/2](上界) 棵子树。
d 一个节点如果有n个子树，也有相应的n个关键字。 所有的非终端节点只是索引，仅包含其子树最大关键字。
e 所有的叶子节点中包含了全部的关键字信息，以及指向含这些关键字记录的指针。并且叶子节点本身依照关键字从小到大进行排序。

对于非叶节点来说，含有关键字数目范围在： [m/2]到m的闭区间。B+树中所有的叶子节点都连在一起。

B+树中查找的过程：
一般B+树中有两个指针，一个指向根节点，这样可以进行随机查找；一个指关键字最小的叶子节点；这样可以进行顺序查找。
在B+树中进行随机查找，与B-树类似，由于父节点总是存储子节点关键字的最大值，我们可以很容易通过父节点找到相应的子节点，最终找到叶子节点。由于数据其实在叶子节点中，叶子节点包含的数据往往比较多，我们需要对叶子节点进行顺序搜索，叶子节点内部是有序的，可以进行二分搜索。

B+树的插入：
B+树的插入仅在叶子节点上进行。当叶子节点中的关键字数目大于m时，要分裂成两个节点，并且双亲节点中也应包含这两个节点中的最大关键字。
B+树的删除：
删除同样也在叶子节点中进行。删除后，叶子节点中的关键字数目小于[m/2]时，要进行合并。

3 B*树：

在B+树基础之上再加上指向兄弟节点的指针，这样在分裂和合并的时候也考虑到了兄弟节点，使得数据更加集中。

4 B树与B+树区别：

可以看到B+树内节点含有关键字的数目比B树多1.而且，内节点不包含实际数据，存储内节点的代价比较小。B+树的非叶子节点只是起到了索引所用。那么，相对于B树只需要读取少量的盘块数，就可以获得实际查找数据所在的位置信息。而且B+树可以支持range查找，适应于数据库的需求。如果最终数据很大，在磁盘上时，使用B+树要比B树好。