编程珠玑第12章

正文

如何生成0~n-1内的m个随机整数

1、方法一

比如要从5个数里选出2个数，第一个数的概率是2/5，第二个数的概率是1/4，然后是0/3

那么现在已经很清楚了。

可以写代码如下：

for (int i = 0; i < n; ++i)     if (rand() %(n-i) < m)      {    cout << i << endl;             --m;        }

2、方法二

可以用一个set，每生成一个随机，就去set里面查看一下有没有在set里面，如果没有就插入进去，直到set大小为m.

其实用散列应该更快。

3、方法三

首先把生n个随机数（注意范围），用第一章里面讲到的随机数唯一生成算法生成之后，取前面m个就可以了。

4、方法四

for (int j = n - m; j < n; ++j){      int t = rand() % (j  + 1);  //注意取模的对象：生成[0,j]之间的随机数      if (set.find(t) == set.end())           set.insert(t);       else set.insert(j);   //注意放进去的数值。}

习题

1、

参考答案

int bigrand(){      return RAND_MAX*rand() + rand();}int region(int l, int u)  //[l, u]{     ++u;      return l + rand() % (u - l);}

2、

算法导论中提到过这个问题，可以这样设计一下，随机选择一个数，随其后的m个数就被选中（假设这些数排列成圆形）。

3、当m < n/2时，

总共试了k次，则前面k-1次找到的数都是在集合中，那么只有第k次不在里面，那么概率

p = (m/n)^(k-1) * (n-m)/n

那么期望是 连加 k = 1至无穷大，根据二项式分布可知，期望等于

n/(n-m) < 2

从而可知得证

4、这里可以看一下算法导论里面的中文版64页的题目，把n个球投到m个框中，每个框中至少有一个球时，至少要投mlgm次。

     如果是n则是nlogn.

5、6、

7、非递归的代码在正文中，是按照升序进行输出。

      第二个问题，生成n个元素的m元子集的所有情况，应该可以使用DFS来进行处理。

8、先生成这些数，然后再按第一章的处理，生成乱序的情况。

     调用m次随机数函数生成器。输出即可。

9、使用floyd的生成算法。

10、答案可能比较难想到。

问题：如何随机从n个对象中选择一个对象，这n个对象是按序排列的，但是在此之前你并不知道n的值？具体些说，在事先并不知道行数的情况下，如何读一个文本文件，随机选择并输出一行？

证明：

解答：我们总是选择第一行，并使用二分之一的概率选择第二行，使用三分之一的概率选择第三行，以此类推。在该过程结束的时候，每一行具有相同的选中概率（1/n，其中n是文件的总行数）：

i = 0
while more input lines
with probability 1.0/++i
choice = this input line  //如果前面做了选择，并不会break，而是直到最后一个为止。
print choice


证明：
当做第i步选择（选择第i行）时，选择该行的概率为1/i，则不选择的概率为(i-1)/i

对于一篇有n行的文档，现需证明最终选定第i行的概率为1/n。
当最终选择第i行，前（i-1）步的选择对最终结果不会产生影响，第i步选择的概率为1/i，即选择第i行，第（i+1～n）步中均采取不选择的动作，即对于任意j(i+1<=j<=n)，当前步的概率为(j-1)/j，那么最终的概率为：
(1/i)*((i)/(i+1))*...*((n-1)/n) = 1/n

以一篇只有6行的文档为例，最终选择第2行的概率为：
1/2*(2/3)*(3/4)*(4/5)*(5/6) = 1/6

扩展：
原问题可简化为：
如何从n个有序对象中等概率地任意抽取1个，简记为sample（n,1），其中n未知；
若将该问题改为：
如何从n个有序对象中等概率地任意抽取m个，简记为sample（n,m），其中n未知；

分析：
若n已知，sample(n,m)是普通的抽样问题；当n未知时，可否根据上述算法进行相应的转化求解？

解决方案：
将sample(n,m)问题转化为m个sample(n*,1)问题，更具体一点是，转化为
sample(n,1);sample(n-1,1);sample(n-2,1)....;sample(n-m+1,1)问题。

仍然以一篇6行文档为例，任取其中2行，做法如下：
第一遍，以如下概率选中一行：
1(1)   2(1/2)  3(1/3)  4(1/4)  5(1/5)  6(1/6)

假设选中第2行，接着概率修改如下：
3(1)  4(1/2)  5(1/3)  6(1/4)  1(1/5)
[说明]:当选中第2行，从第3行开始修改概率，并将第2行排除在外，继续扫描，这样能保证在剩下的5个数中仍然以等概率抽取其中的一个。

11、实际上如查刮到1，2，3以外的数，就继续，所以看遇到这三个数中的哪一个，所以胜的概率是2/3,输的概率是1/3