八皇后问题

回溯法:八皇后问题，一个经典问题


     在程序设计中还有一种方法叫做"回溯法".他不是按照某种公式或确定的法则,求问题的解,而是通过试探和纠正错误的策略,找到问题的街.这种方法一般是从一个原始状态出发,通过若干步试探,最后达到目标状态终止.
    回溯法在理论上来说,就是在一棵搜索树中从根结点出发,找到一条达到满足某条件的子结点的路径.在搜索过程中,对于每一个中间结点,他的位置以及向下搜索过程是相似的,因此完全可以用递归来处理.典型的例子就是著名的"八皇后问题".
    "八皇后问题"是在国际象棋棋盘上放置八个皇后,使她们不能相吃.国际象棋中的皇后可以吃掉与她处于同一行,同一列,同一对角线上的棋子.因此每一行只能摆放一个皇后.因共有八行,所以每行有且只有一个皇后.
    在本例中皇后的位置有一个一维数组来存放A(I)=J表示第I行皇后放在第J列.下面主要来看看怎么样判断皇后是否安全的问题.(1)首先,用一维数组来表示,已经解决了不在同一行的问题.(2)对于列可以引进一个标志数组C[J],若J列上已放了皇后,则C[J]=FALSE.(3)对于左上右下的对角线I-J为一常量,位于[-7,+7]之间,再此引入标志数组L[-7..7];对于左下右上的对角线,类似的有I+J等于常量,用数组R[2..16]来表示.当在第I行,第J列上放置了皇后,则只需设置:C[J]:=FALSE; L[I-J]:=FLASE; R[I+J]:=FALSE就可以解决皇后的安全问题了.

问题描述：在标准国际象棋的棋盘上（8*8格）准备放置8只皇后，我们知道，国际象棋中皇后的威力是最大的，她既可以横走竖走，还可以斜着走，遇到挡在她前进路线上的敌人，她就可以吃掉对手。要求在棋盘上安放8只皇后，使她们彼此互相都不能吃到对方，求皇后的放法

/************************************************************************/  /*                                   */  /*    问题：在8×8的国际象棋棋盘上放置8个皇后，要求任意两个皇后       */  /*       不能在同一行、同一列或同一条对角线上。             */  /*                                   */  /*    本程序使用递归－回溯法求解8皇后问题。Visual C++ 6.0 调试通过。  */  /*    作者 晨星     2002年5月9日                   */  /*                                   */  /************************************************************************/  #include <stdio.h>  #include <conio.h>  #include <math.h>  #define QUEENS 8  //!记录解的序号的全局变量。  int iCount = 0;  //!记录皇后在各列上的放置位置的全局数组。  int Site[QUEENS];  //!递归求解的函数。  void Queen(int n);  //!输出一个解。  void Output();  //!判断第n个皇后放上去之后，是否有冲突。  int IsValid(int n);  /*----------------------------Main：主函数。 ----------------------------*/  void main()  {       //!从第0列开始递归试探。       Queen(0);       //!按任意键返回。       getch();  }  /*-----------------Queen：递归放置第n个皇后，程序的核心!----------------*/  void Queen(int n)  {       int i;       //!参数n从0开始，等于8时便试出了一个解，将它输出并回溯。       if(n == QUEENS)       {             Output();             return;       }               //!n还没到8，在第n列的各个行上依次试探。       for(i = 1 ; i <= QUEENS ; i++)       {             //!在该列的第i行上放置皇后。             Site[n] = i;             //!如果放置没有冲突，就开始下一列的试探。             if(IsValid(n))                   Queen(n + 1);       }  }  /*------IsValid：判断第n个皇后放上去之后，是否合法，即是否无冲突。------*/  int IsValid(int n)  {       int i;       //!将第n个皇后的位置依次于前面n－1个皇后的位置比较。       for(i = 0 ; i < n ; i++)       {             //!两个皇后在同一行上，返回0。             if(Site[i] == Site[n])                   return 0;             //!两个皇后在同一对角线上，返回0。             if(abs(Site[i] - Site[n]) == (n - i))                   return 0;       }       //!没有冲突，返回1。       return 1;  }  /*------------Output：输出一个解，即一种没有冲突的放置方案。------------*/  void Output()  {       int i;       //!输出序号。       printf("No.%-5d" , ++iCount);       //!依次输出各个列上的皇后的位置，即所在的行数。       for(i = 0 ; i < QUEENS ; i++)             printf("%d " , Site[i]);       printf("n");  }      STL源代码  用了STL, 方法是一样的.  #include <iostream>  #include <string>  using namespace std;  void queen(const string t, const string s)  {      if (s=="") cout<<t<<endl;      else          for (int i=0; i<s.length(); i++) {              bool safe=true;              for (int j=0;j<t.length();j++) {                  if (t.length()-j==abs(s[i]-t[j])) safe=false;              }              if (safe) queen(t+s[i], s.substr(0,i)+s.substr(i+1));      }  }  int main()  {              string s="01234567";      queen("",s);      system("PAUSE");      exit(EXIT_SUCCESS);  }    递归解八皇后问题  /*递归法解八皇后问题*/  /*作者黄国瑜，《数据结构（C语言版）》清华大学出版社*/  char Chessboard[8][8]; /*声明8＊8的空白棋盘*/  int N_Queens(int LocX, int LocY, int Queens) /*递归*/  {  int i,j;  int Result=0;  if(Queens == 8)/*递归结束条件*/     return 1;  else if(QueenPlace(LocX,LocY))/*递归执行部分*/    {    Chessboard[LocX][LocY] = 'Q';    for(i=0;i<8;i++)      for(j=0;j<8;j++)      {      Result += N_Queens(i,j,Queens+1);      if(Result>0)        break;      }    if(Result>0)      return 1;    else      {      Chessboard[LocX][LocY] = 'X';      }    }  else    return 0;  }  int QueenPlace(int LocX,int LocY) /*判断传入坐标本身及入八个方向上是否有皇后*/  {  int i,j;  if(Chessboard[LocX][LocY] != 'X')    return 0;  for(j=LocY-1;j>=0;j--)    if(Chessboard[LocX][j] != 'X')      return 0;  for(j=LocY+1;j<8;j++)    if(Chessboard[LocX][j] != 'X')      return 0;  for(i=LocX-1;i>=0;i--)    if(Chessboard[i][LocY] != 'X')      return 0;  for(i=LocX+1;i<8;i++)    if(Chessboard[i][LocY] != 'X')      return 0;  i= LocX - 1;  j= LocY - 1;  while (i>=0&&j>=0)    if(Chessboard[i--][j--] != 'X')      return 0;  i= LocX + 1;  j= LocY - 1;  while (i<8&&j>=0)    if(Chessboard[i++][j--] != 'X')      return 0;  i= LocX - 1;  j= LocY + 1;  while (i>=0&&j<8)    if(Chessboard[i--][j++] != 'X')      return 0;  i= LocX + 1;  j= LocY + 1;  while (i<8&&j<8)    if(Chessboard[i++][j--] != 'X')      return 0;  return 1;  }  main() /*主程序*/  {  int i,j;  for(i=0;i<8;i++)    for(j=0;j<8;j++)      Chessboard[i][j] = 'X';  N_Queens(0,0,0);  printf("the graph of 8 Queens on the Chessboard.is:n");  for(i=0;i<8;i++)    for(j=0;j<8;j++)    {    if(Chessboard[i][j] == 'Q')      printf("(%d,%d)n",i,j);    }  getch();  }  /********************************************************* *****************八皇后问题******************************* ************根据严书给的类c算法求得************************ *********************************************************/  #include<stdio.h>  #define N 8  int col=1,row=1,slash=1,bslash=1;  int a[N][N];  int p,q,k,l;  int num=0;  void trial(int i)  {  int j;   /*注 意，这里的j 一定要设为内部变量*/  if(i==N)  {  num++;  for(k=0;k<N;k++)  {  for(l=0;l<N;l++)  {    if(a[k][l]==1)     printf("@");    else printf("*");  }  printf("n");  }  printf("nn");  getchar();  }  else  {  for(j=0;j<N;j++)  {  for(k=0;k<i;k++)    if(a[k][j]==1)    {     col=0;     break;    }     /*列*/  p=i-1;  q=j+1;  while((p>=0)&&(q<N))  {    if(a[p][q]==1)    {     slash=0;     break;    }    p--;    q++;  }  p=i-1;  q=j-1; /*对角*/  while((p>=0)&&(q>=0))  {    if(a[p][q]==1)    {     bslash=0;     break;    }    p--;    q--;  }      /*斜对角*/  if((col==1)&&(slash==1)&&(bslash==1)) /*条件判断*/  {    a[i][j]=1;    trial(i+1);  }  col=1;slash=1;bslash=1;  a[i][j]=0;  }  }  }  void main()  {  trial(0);  printf("%dn",num);  getchar();  }