实用算法实现-第 9 篇RMQ问题
来源:互联网 发布:哉佩利敖光线数据 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 06:08
9.1 RMQ问题
RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题,就是对于给定数组,在其下标范围[i, j]内给出的最小值(或最大值,下文都称最小值)的问题。
RMQ和LCA问题可以互相转化,一个对RMQ和LCA问题的总结如下表[i]:
算法
处理方式
复杂度
备注
转化算法
LCA =>±1RMQ
N/A
O(n)
引理1,规模O(n) - O(2n-1)
RMQ => LCA-CT
N/A
O(n)
引理2,规模不变
朴素算法
LCA-Naive
online
O(n^2) - O(1)
动态规划
RMQ-Naive
online
O(n^2) - O(1)
直接求解
经典算法
LCA-Tarjan
offline
O(na(n))
RMQ-ST
online
O(nlogn) - O(1)
改进算法
RMQ-ST-Block
online
O(nloglogn) - O(1)
将RMQ-ST分段处理
±1RMQ-ST-Block
online
O(n) - O(1)
控制RMQ-ST-Block中分段的段种数,得到O(n)算法。
快速算法
RMQ-Fast
online
O(n) - O(1)
RMQ => LCA-CT => ±1RMQ
折衷算法
RMQ-IT
online
O(n) - O(logn)
线段树直接处理
RMQ-CT-Tarjan
offline
O(na(n))
RMQ => LCA-CT再用LCA-Tarjan解决。
我们可以将一般RMQ的值得应用的算法列表:
算法
处理方式
复杂度
备注
RMQ-IT
online
O(n)-O(logn)
询问不多时,竞赛首选。
RMQ-CT-Tarjan
offline
O(na(n))
由于是离线的,而且还要转化成CT,某些地方不应用。
RMQ-ST
online
O(nlogn)-O(1)
询问多时,竞赛首选。
RMQ-ST-Block
online
O(nloglogn)-O(1)
时间要求特别严格时采用。
1.2 Sparse Table算法
RMQ的一个经典的算法是SparseTable(ST)算法。它可以在O(nlgn)的预处理时间后,提供O(1)时间的查询。
定义d[i, j]为下标在区间[i, i+2^j-1]中的数组S的元素的最小值。即:
d[i, j] = min{S[k] | i ≤ k ≤ i+2^j-1}
有:
d[i, j-1] = min{S[k] | i ≤ k ≤ i+2^(j-1)-1}
d[i+2^(j-1), j-1] = min{S[k] | i+2^(j-1) ≤ k ≤ i+2^(j-1)+2^(j-1)-1} =min{S[k] | i+2^(j-1) ≤ k ≤ i+2^j-1}
故此有:
d[i, j] = min{S[k] | i ≤ k ≤ i+2^j-1} = min{d[i, j-1], d[i+2^(j-1),j-1]}
可以观察到区间[i, i+2^j-1]被分为区间[i, i+2^(j-1)-1]和区间[i+2^(j-1), i+2^j-1]。
对于所有{(i, j) | 0 ≤ i ≤ n-1, 0 ≤i+2^j-1 ≤ n-1 }都求出d[i, j]。首先依据定义有d[i, 0] = S[i]。又由于有上述的递推式,所以在已求出d[i, j-1]和d[i+2^(j-1), j-1]的前提下,d[i, j]可以在常数时间内求出。又由于{(i, j) | 0 ≤ i ≤ n-1,0 ≤ i+2^j-1 ≤ n-1} = {(i, j) | 0 ≤ i ≤ n-1-(2^j-1), 0 ≤ 2^j-1 ≤ n-1},所以可以在[0, n-1]区间内遍历2^j-1,并对每个j,求出每个合要求的i对应的d[i, j]。如果采用这种方法,在求解d[i, j]之前,d[i, j-1]和d[i+2^(j-1), j-1]都已经求出,故此求d[i, j]可以在常数时间内完成。由于j有O(lgn)个选择,而对每个j,i有O(n)个选择,故此求出数组d需要的时间是O(n lgn)。
假设要在[i, j]区间内查询最小值,即RMQ(i, j),则令k = max{l | 2^l ≤ (i-j+1)},即k为log(i-j+1)取下限。由此2^k*2 ≥ i-j+2,即i+2^k-1 ≥ j-2^k+1,所以[i, j]可被子区间[i, i+2^k-1]和[j-2^k+1, j]覆盖。而两个区间内的最小值分别是d[i, k]和d[j-2^k+1, k]。所以RMQ(i, j) = min{d[i, k], d[j-2^k+1,k]}。所以任意的查询都可以在O(1)时间内完成。
1.2.1 实例
PKU JudgeOnline, 3264, Balanced Lineup.
1.2.2 问题描述
给出一组数据,求出一个坐标区间内的最大值和最小值的相差范围。
1.2.3 输入
63
1
7
3
4
2
5
15
46
22
1.2.4 输出
6
3
0
1.2.5 分析
这是经典的RMQ问题,用线段树也可以做。
可以发现,可以将二维数组d的两维互换,这样可以提高访问速度。
1.2.6 程序
#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>using namespace std;#define maxNum 50002int Dmax[16][maxNum];//注意这里为了提高访问速度,将数组的两维互换int Dmin[16][maxNum];int cow[maxNum];int n;void bulidST(){ int k; int l; int i, j; for(i = 0;i < n; i++){ Dmin[0][i] = cow[i]; Dmax[0][i] = cow[i]; } for(j = 1;(k = (1<<j) - 1) < n; j++){ for(i =0; i < n - k; i++){ l = (k + 1)>>1; if(Dmin[j- 1][i] < Dmin[j - 1][i + l]){ Dmin[j][i] = Dmin[j - 1][i]; }else{ Dmin[j][i] = Dmin[j - 1][i +l]; } if(Dmax[j- 1][i] > Dmax[j - 1][i + l]){ Dmax[j][i] = Dmax[j - 1][i]; }else{ Dmax[j][i] = Dmax[j - 1][i +l]; } } }}int checkST(int i, intj){ int k; int d; int RMaxQ; int RMinQ; k = 0; d = 1; while(d<< 1 <= j - i + 1){ d <<= 1; k++; } if(Dmin[k][i]< Dmin[k][j - d + 1]){ RMinQ = Dmin[k][i]; }else{ RMinQ = Dmin[k][j - d + 1]; } if(Dmax[k][i]> Dmax[k][j - d + 1]){ RMaxQ = Dmax[k][i]; }else{ RMaxQ = Dmax[k][j - d + 1]; }// cout << RMaxQ<< " : " << RMinQ << endl; returnRMaxQ - RMinQ;}int main(){ int q; int i; int l, r; scanf("%d%d",&n, &q); for(i = 0;i < n; i++){ scanf("%d",&cow[i]); } bulidST(); for(i = 0;i < q; i++){ scanf("%d%d",&l, &r); printf("%d\n",checkST(l - 1, r - 1)); }}本文章欢迎转载,请保留原始博客链接http://blog.csdn.net/fsdev/article
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