组合数奇偶性判断 应用位运算方法

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。 (P是旧用法，现在教材上多用A，Arrangement)  公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。组合数的奇偶性判定方法为:  结论：  对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。  证明：  利用数学归纳法：  由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);  对应于杨辉三角：  1  1 2 1  1 3 3 1  1 4 6 4 1  ………………  可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，  C(n,k)满足结论。  1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：  则有：(n-1)&k == k;  (n-1)&(k-1) == k-1;  由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1  。  现假设n&k == k。  则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。  因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。  所以得n&k != k。  2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：  则有：(n-1)&k != k;  (n-1)&(k-1) != k-1;  现假设n&k == k.  则对于k最后一位为1的情况：  此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。  而对于k最后一位为0的情况：  则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。  相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。  而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。  则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。  所以得n&k != k。  由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。  3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：  则有：(n-1)&k == k;  (n-1)&(k-1) != k-1;  显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。  所以k的末尾必有一部分形如：10;  相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;  相应的，k-1的对应部分为： 01;  则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.  所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)  所以 n&k = k。  4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：  则有：(n-1)&k != k;  (n-1)&(k-1) == k-1;  分两种情况：  当k-1的最后一位为0时:  则k-1的末尾必有一部分形如: 10;  相应的，k的对应部分为 : 11;  相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)  相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;  所以n&k = k。  当k-1的最后一位为1时:  则k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的)  相应的，k的对应部分为 : 10;  相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)  相应的，n的对应部分为 : 10;  所以n&k = k。  由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。  综上，结论得证!