Strassen矩阵乘法

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矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一，它在数值计算中有广泛的应用。若A和B是2个n×n的矩阵，则它们的乘积C=AB同样是一个n×n的矩阵。A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:　

若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i,j]，需要做n个乘法和n-1次加法。因此，求出矩阵C的n²个元素所需的计算时间为0(n³)。

60年代末，Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术，将计算2个n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(n^log7)=O(n^2.18)。

首先，我们还是需要假设n是2的幂。将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成为4个大小相等的子矩阵，每个子矩阵都是n/2×n/2的方阵。由此可将方程C=AB重写为:

　(1)

由此可得:　

C₁₁=A₁₁B₁₁+A₁₂B₂₁                           (2)

C₁₂=A₁₁B₁₂+A₁₂B₂₂                           (3)

C₂₁=A₂₁B₁₁+A₂₂B₂₁                           (4)

C₂₂=A₂₁B₁₂+A₂₂B₂₂                           (5)

如果n=2，则2个2阶方阵的乘积可以直接用(2)-(3)式计算出来，共需8次乘法和4次加法。当子矩阵的阶大于2时，为求2个子矩阵的积，可以继续将子矩阵分块，直到子矩阵的阶降为2。这样，就产生了一个分治降阶的递归算法。依此算法，计算2个n阶方阵的乘积转化为计算8个n/2阶方阵的乘积和4个n/2阶方阵的加法。2个n/2×n/2矩阵的加法显然可以在c*n²/4时间内完成，这里c是一个常数。因此，上述分治法的计算时间耗费T(n)应该满足：

这个递归方程的解仍然是T(n)=O(n³)。因此，该方法并不比用原始定义直接计算更有效。究其原因，乃是由于式(2)-(5)并没有减少矩阵的乘法次数。而矩阵乘法耗费的时间要比矩阵加减法耗费的时间多得多。要想改进矩阵乘法的计算时间复杂性，必须减少子矩阵乘法运算的次数。按照上述分治法的思想可以看出，要想减少乘法运算次数，关键在于计算2个2阶方阵的乘积时，能否用少于8次的乘法运算。Strassen提出了一种新的算法来计算2个2阶方阵的乘积。他的算法只用了7次乘法运算，但增加了加、减法的运算次数。这7次乘法是:　

M₁=A₁₁(B₁₂-B₂₂)

M₂=(A₁₁+A₁₂)B₂₂

M₃=(A₂₁+A₂₂)B₁₁

M₄=A₂₂(B₂₁-B₁₁)

M₅=(A₁₁+A₂₂)(B₁₁+B₂₂)

M₆=(A₁₂-A₂₂)(B₂₁+B₂₂)

M₇=(A₁₁-A₂₁)(B₁₁+B₁₂)

做了这7次乘法后，再做若干次加、减法就可以得到:　

C₁₁=M₅+M₄-M₂+M₆

C₁₂=M₁+M₂

C₂₁=M₃+M₄

C₂₂=M₅+M₁-M₃-M₇

以上计算的正确性很容易验证。例如:　

C₂₂=M₅+M₁-M₃-M₇

   =(A₁₁+A₂₂)(B₁₁+B₂₂)+A₁₁(B₁₂-B₂₂)-(A₂₁+A₂₂)B₁₁-(A₁₁-A₂₁)(B₁₁+B₁₂)

   =A₁₁B₁₁+A₁₁B₂₂+A₂₂B₁₁+A₂₂B₂₂+A₁₁B₁₂

     -A₁₁B₂₂-A₂₁B₁₁-A₂₂B₁₁-A₁₁B₁₁-A₁₁B₁₂+A₂₁B₁₁+A₂₁B₁₂

   =A₂₁B₁₂+A₂₂B₂₂　

由(2)式便知其正确性。

至此，我们可以得到完整的Strassen算法如下：

procedure STRASSEN(n,A,B,C);begin  if n=2 then MATRIX-MULTIPLY(A，B，C)         else begin                将矩阵A和B依(1)式分块;                STRASSEN(n/2,A11,B12-B22,M1);                STRASSEN(n/2,A11+A12,B22,M2);                STRASSEN(n/2,A21+A22,B11,M3);                STRASSEN(n/2,A22,B21-B11,M4);                STRASSEN(n/2,A11+A22,B11+B22,M5);                STRASSEN(n/2,A12-A22,B21+B22,M6);                STRASSEN(n/2,A11-A21,B11+B12,M7);                    ;               end;end;

其中MATRIX-MULTIPLY(A，B，C)是按通常的矩阵乘法计算C=AB的子算法。

Strassen矩阵乘积分治算法中，用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。由此可知，该算法的所需的计算时间T(n)满足如下的递归方程:

按照解递归方程的套用公式法，其解为T(n)=O(n^log7)≈O(n^2.81)。由此可见，Strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通矩阵乘法有阶的改进。

有人曾列举了计算2个2阶矩阵乘法的36种不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一种计算2阶方阵乘积的算法，使乘法的计算次数少于7次，按上述思路才有可能进一步改进矩阵乘积的计算时间的上界。但是Hopcroft和Kerr(197l)已经证明，计算2个2×2矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再寄希望于计算2×2矩阵的乘法次数的减少。或许应当研究3×3或5×5矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。目前最好的计算时间上界是O(n^2.367)。而目前所知道的矩阵乘法的最好下界仍是它的平凡下界Ω(n²)。因此到目前为止还无法确切知道矩阵乘法的时间复杂性。关于这一研究课题还有许多工作可做。