关于齐次坐标
来源:互联网 发布:php视频教程全集 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 04:44
需要齐次坐标的原因:
在欧几里得几何空间里,两条平行线永远都不会相交。但是在投影空间中,两条铁轨在地平线处却是会相交的,因为在无限远处它们看起来相交于一点。
在欧几里得(或称笛卡尔)空间里描述2D/3D 几何物体是很理想的,但在投影空间里面却并不见得。 我们用 (x, y) 表示笛卡尔空间中的一个 2D 点,而处于无限远处的点 (∞,∞) 在笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点,但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题(因为无限远处的点在笛卡尔空间里是没有意义的)。
由 August Ferdinand Möbius 提出的齐次坐标(Homogeneous coordinates)让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理,齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如,2D 齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w,变成(x, y, w),其中笛卡尔坐标系中的大X,Y 与齐次坐标中的小x,y有如下对应关系:
X = x/w
Y = y/w
笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这点移动到无限远(∞,∞)处,在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ,这样我们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。
证明: 两平行线可以相交
笛卡尔坐标系中,对于如下两个直线方程:
如果 C ≠ D,以上方程组无解;如果 C = D,那这两条线就是同一条线了。
下面我们用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空间里来求解:
现在我们就可以在 C ≠ D 的情况得到一组解 (x, y, 0),代入得 (C - D)w = 0,因为 C ≠ D,所以 w = 0。因而,两条平行线相交于投影空间中无限远处的一点 (x, y, 0)。
齐次坐标在计算机图形学中是有用的,将 3D 场景投影到 2D 平面的过程中就用到它了。
程序中区别向量和点:
对于一个向量v以及基oabc,可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得v = v1 a + v2 b + v3 c (1)
而对于一个点p,则可以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c (2),
从上面对向量和点的表达,我们可以看出为了在坐标系中表示一个点(如p),我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移,即一个向量——p – o(有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量),我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p= o + p1 a + p2 b + p3c (3)
(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出,虽然都是用代数分量的形式表达向量和点,但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7),谁知道它是个向量还是个点!
1)(3)写成矩阵的形式:v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵,右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样,向量和点在同一个基下就有了不同的表达:3D向量的第4个代数分量是0,而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
这样,上面的(1, 4, 7)如果写成(1,4,7,0),它就是个向量;如果是(1,4,7,1),它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换:
(1)从普通坐标转换成齐次坐标时
如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是个向量,则变为(x,y,z,0)
从齐次坐标转换成普通坐标时
如果是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0),则知道它是个向量,仍然变成(x,y,z)
以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知,对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换,平移变换只对于点才有意义,因为普通向量没有位置概念,只有大小和方向.
而旋转和缩放对于向量和点都有意义,你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出,齐次坐标用于仿射变换非常方便。
此外,对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz),有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等。因此,如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后增加第4个分量w;如果把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前三个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个分量。
由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念,使得平移变换可以使用矩阵进行,从而如F.S. Hill, JR所说,仿射(线性)变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法,因此更加促进了齐次坐标使用,使得它似乎成为图形学中的一个标准。
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