二叉树性质操作遍历总结

这几天面试都碰到了二叉树，在此将问题总结下，以备今后再遇。


参考文献：
1. 数据结构与算法分析——c语言描述
2. 百度百科http://baike.baidu.com/view/88806.htm  http://baike.baidu.com/view/127820.htm

定义：二叉树是一棵树，其中每个节点都不能有多于两个儿子节点


性质：
1、二叉树的平均深度要比N小，为O(N^(1/2))；二叉查找树，其深度的平均值为O(logN)
2、二叉树分为满二叉树和完全二叉树。
满二叉树：所有非叶子节点都达到最大的二叉树
完美二叉树：叶子节点仅在层次最大的两层出现，对于任意节点，左子树的高度等于右子数的高度加1
3、第i层的节点总数不超过2^(i-1)
4、深度为h的二叉树，最多有2^h-1个节点（h>=1），最少有h个节点
5、对于任意二叉树，如果其叶子节点数为N0，而度数为2的节点总数为N2，则有N0=N2+1
6、具有n个节点的完全二叉树，其深度为int(log2n)+1
7、有N个节点的完全二叉树，如果采用顺序方式存储，则节点所在顺序表中的位置有如下关系：
若节点i不为根节点，则其父节点编号为i/2;
若2*i<=N，则其左儿子的编号为i*2，若2*i>N，则无左儿子；
若2*i+1<=N，则其右儿子的编号为2*i+1;若2*i>N,则无右儿子。
8、给定N个节点，能构成h(N)中不同的二叉树。
h(N)为卡特兰树德第N项, h(N) = C(n, 2n)/(n+1)


类型：
1、二叉查找树：对于树中的每个节点x，其左子树的所有关键字的值小于关键字x的值，右子树中所有关键字的值，大于x

下面是二叉查找树的定义及常用方法的C实现：

struct TreeNode;typedef struct TreeNode *Position;typedef struct TreeNode *SearchTree;typedef int ElementType;SearchTree MakeEmpty(SearchTree T);Position Find(ElementType x, SearchTree T);SearchTree Insert(ElementType X, SearchTree T);SearchTree Delete(ElementType X, SearchTree T);Position findMin(SearchTree T);Position findMax(SearchTree T);struct TreeNode{ElementType Element;SearchTree left;SearchTree Right;};//建立空树SearchTree MakeEmpty(SearchTree T){if(T != NULL){MakeEmpty(T->Left);MakeEmpty(T->Right);free(T);}return NULL;}Position Find(ElementType X, SearchTree T){if(T == NULL)return NULL;if(x < T->Element)return Find(X, T->Left);else if(X > T->Element)return Find(X, T->Right);elsereturn T;}Position FindMin(SearchTree T){if(T == NULL)return NULL;else if(T->Left == NULL)return T;elsereturn FindMin(T->Left);}Position FindMax(SearchTree T){if(T != NULL){while(T->Right != NULL)T = T->Right;}return T;}SearchTree Insert(ElementType X, SearchTree T){if(T == NULL){//Create and return an one-node treeT = (SearchTree)malloc(sizeof(struct TreeNode));if(T == NULL)Error("out of space!\n");else{T->Element = X;T->Left = T->Right = NULL;}}else if(X < T->Element)T->Left = Insert(X, T->Left);else if(X > T->Element)T->Right = Insert(X, T->Right);return T;}

关于二叉查找树的删除，存在三种情况：

1、叶子节点，直接删除即可；

2、如果只有一个儿子节点，将其父节点指向其儿子节点，然后free掉该节点，即可；

3、最复杂的情况，有两个节点，一般的删除策略是用其右子树的最小节点的数据，代替该节点的数据，并递归删除那个节点（即右子数最小节点）

代码如下：

SearchTree Delete(ElementType X, SearchTree T){Position TmpCell;if(T == NULL)Error("Element not found");else if(x < T->Element)T->left = Delete(X, T->Left);else if(X > T->Element)T->Right = Delete(X, T->Right);else if(T->Left&&T->Right){TmpCell = FindMin(T->Right);T->Element = TmpCell->Element;T->Right = Delete(T->Element, T->Right);}else{TmpCell = T;if(T->Left == NULL)T = T->Right;else if(T->Right == NULL)T = T->Left;free(TmpCell);}return T;}

2、一般二叉树

二叉树的遍历，按照当前节点的遍历顺序，分别由前序，中序和后序，此处的前中后，是根据当前节点的遍历次序来说的。比如前序，就是先处理当前的节点P，再处理其左右节点。

void PreOrderTraverse(Tree T){if(T != NULL){PrintElement(T->Element);PreOrderTraverse(T->Left);PreOrderTraverse(T->Right);}}

中序和后序的递归遍历和上面相似，就是在中间或最后打印当前节点。下面分析树的非递归遍历，二叉树前序非递归遍历：

void PreOrderTraverseNew(Tree T){InitStack(S);Position p = T;while(p || !StackEmpty(S)){if(p){PrintElement(p->Element);Push(S, p);p = p->lchild;}else{Pop(S, p);p = p->rchild;}}}

中序的非递归遍历为：

void InOrderTraverseNew(Tree T){InitStack(S);Position p = T;while(p || !StackEmpty(S)){if(p){Push(S, p);p = p->lchild;}else{Pop(S, p);PrintElement(p->Element);p = p->rchild;}}}

可见，前序和中序的非递归遍历很相近，采用栈来实现，当左子树不为空时，就不断往栈中压入节点，直到左儿子为空，则弹出栈顶元素，并且指向其右儿子，然后重复前面的过程。直到栈中节点全部出栈，且p指向空。唯一的区别在于前序在当前节点入栈前就处理（本例中为打印）该节点，然后再入栈；而中序则是在该元素出栈时打印处理。可见，在非递归的实现中，遍历指针p总会指向null，因此遍历的判断条件仅有一个，具体来讲，就是是否print一个节点，前序的判断为入栈前就要打印，而中旬的判断为其左子树为空或已打印处理，从堆栈的角度来看，左子树为空和左子树已经打印，对于当前节点来说，栈的状态都是一样的，即要打印的节点都是栈顶元素，而且不用考虑右子树的状态，因此出栈打印即可。

但对于后序遍历来说，上面的方法是不行的。因为，在后序遍历中，一个节点是否打印处理，有两种情况，一是该节点左右子树都为空，另一种情况则是该节点的左右子树都已经打印。在判断一个节点是否出栈处理时，首先要确定该节点的右子树是否已经处理，若无，则还要进入右子数处理，因为需要设置一个tag，随着每个节点进入栈中，来记录该节点的右子树是否已经处理。

因此，后序的非递归遍历为：

void PostOrderTraverse(Tree T){InitStack(S);Position p = T;while(p || !StackEmpty){while(p){Push(S, p, 0);p = p->lchild;}while(!StackEmpty(S) && GetTopTag(S) == 1){Pop(S, p);PrintElement(p->Element);}if(!StackEmpty(S)){setTop(S, 1);p = GetTop(S);p = p->rchild;}elsebreak;}}

树的深度优先遍历即为先前提到的先序、中序和后序，而树的广度优先遍历则用队列来实现。

void BreadthSearch(Tree T){Queue Q;InitQueue(Q);Position p = T;EnQueue(Q, p);while(!QueueEmpty(Q)){DeQueue(Q, p);PrintElement(p->Element);if(p->lchild){EnQueue(Q, p->lchild);}else if(p->rchild){EnQueue(Q, p->rchild);}}}

树的高度

采用递归的方式即可求取

int Height(Tree T){if(T == NULL)return 0;else{return Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;}}

3、哈夫曼树

给定n个权值作为n个叶子节点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也叫做哈夫曼树。

路径：在一棵树中，从一个节点往下可以到达的孩子或子孙节点之间的通路，成为路径；

路径长度：通路中分支的数目称为路径长度，若规定根节点的层数为1，则从根节点到第L层节点的路径长度为L-1；

节点的权：若将树中节点赋给一个有着某种含义的数值，则称该数值为该节点的权；

节点的带权路径长度：从根节点到该节点之间的路径长度与该节点的权的乘积。

树德带权路径长度：所有叶子节点的带权路径长度之和，记为WPL。

哈夫曼树的构造：

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子节点，n个权值分别设为分别设为w1、w2、...、wn，则哈夫曼树的构造规则为：

(1) 将w1、w2、...、wn看成是有n棵树的森林（每棵树仅有一个节点）；

(2) 在森林中选出两个根节点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左右子树，且新树的根节点权值为其左右子树的根节点权值之和；

(3) 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

(4) 重复(2) (3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。