素数

来源：互联网发布：现在开淘宝店卖什么好编辑：程序博客网时间：2024/06/07 09:38

素数一直是个头疼的话题，不过最好还是克服一下。至少知道如何来进行处理。

求a^b

那种老掉牙的for循环就不要写了吧。

这里粘个高效的。

template<typename T>T _exp(T a, T b){T odd = 1;while (b > 1){if (b&1) odd *= a;a *= a;b >>= 1;}return a*odd;}

求a^b%n

其实这两者有共性了。

template<typename T>T _mod_exp(T a, T b, T n){T odd = 1;while (b){if (b&1) odd = (odd * a) %n;a = (a*a)%n;b >>= 1;}return odd;}

费马小定理

直接用维基百科上的东西：
费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么

$a^p \equiv a \pmod{p}$

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

这个书写方式更加常用。（符号的应用请参见同余。）

费马小定理的逆定理

这个小定理的逆定理是不成立的。但是可以用来筛选素数。

即认为满足

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

就是素数，当然a在这里可以取很多值。

但是也有一些数偏可以通过这些测试。

二次探测

若 p 为素数，且 0 < x < p，则方程 x * x = 1 ( mod p ) 的解为 x = 1, p - 1 ( mod p )。

事实上 x * x = 1 ( mod p ) 等价于 x * x - 1 = 0 ( mod p )，则 ( x - 1 )( x + 1 ) = 0 ( mod p )。故 p 须整除 x - 1 或 x + 1，由 p 为素数且 0 < x < p，推出 x = 1 ( mod p ) 或 x = p - 1 ( mod p )。

基于费马小定理的随机化测试

基实思想很简单，就取一个a值不行，那么就多取几个a值。直到行为止。ull表示typedef unsigned long long ull;

int _test_base(ull n){int ret2 = 1, ret3 = 1, ret5 = 1, ret7 = 1;int i = 0;ull a;if (!(n&1) || 0 == n % 3 || 0 == n % 5 || 0 == n % 7) return 0;for(i=1;i<8;i++)  //个人以为这里的8还可以取成20~50中的数。{ a = 2 + rand()%(n-2);if (_mod_exp(a, n - 1, n) != 1) return 0;}return 1;}

一般而言，毕竟这个随机化测试虽然概率很大，还是有漏网之鱼。

这里需要用到一个更强的版本

Miller-Rabin素数测试

定义：令 n - 1 = ( 2^s ) * d，其中 s 是非负整数，d 是正奇数。若 a^d =1 ( mod n ) 或 a^((2^r)*d) = -1 ( mod n )，0 <= r <= s - 1，则称 n 通过以 a 为基的 R-M 测试。

定理：若 n 为奇合数，则 n 通过以 a 为基的 R-M 测试的数目最多为 ( n - 1 ) / 4， 1 <= a <= n - 1

不多说了这里给出一个强化版的素数测试方法

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>typedef unsigned long long ull; ull _mod_exp(ull a, ull b, ull n){ull t = 1, y = a;while (b){if (b&1) t = (t * y) % n;y = (y * y) % n;b >>= 1;}return t;} //1 for not primer.int _is_not_primer(ull a, ull k, ull q, ull n){ull e = 1, i;if (1 == _mod_exp(a, q, n)) return 0;for (i = 0; i < k; ++i){if (n-1 == _mod_exp(a, q*e, n)) return 0;e <<= 1;}return 1;} //1 for not primerint _miller_robin_not_primer(ull n){ull k = 0, q = n - 1;if (2 == n || 3 == n || 5 == n || 7 == n) return 0;if (!(n&1) || 2 > n) return 1;while (!(q&1)) {q >>= 1; ++k;} if (n < 1373653){if (_is_not_primer(2, k, q, n) || _is_not_primer(3, k, q, n))return 1;}else if (n < (ull)9080191){if (_is_not_primer(31, k, q, n) || _is_not_primer(73, k, q, n))return 1;}else if (n < (ull)4759123141){if (_is_not_primer(2, k, q, n) || _is_not_primer(3, k, q, n)|| _is_not_primer(5, k, q, n)|| _is_not_primer(11, k, q, n))return 1;}else if (n < (ull)2152302898747){if (_is_not_primer(2, k, q, n)||_is_not_primer(3, k, q, n)||_is_not_primer(5, k, q, n)||_is_not_primer(7, k, q, n)||_is_not_primer(11, k, q, n))return 1;}else{if (_is_not_primer(2, k, q, n)||_is_not_primer(3, k, q, n)||_is_not_primer(5, k, q, n)||_is_not_primer(7, k, q, n)||_is_not_primer(11, k, q, n)||_is_not_primer(31, k, q, n)||_is_not_primer(61, k, q, n)||_is_not_primer(73, k, q, n))return 1;}return 0;        } int prime(ull n){return _miller_robin_not_primer(n) == 0;} int main(void){ull n;while (scanf("%llu", &n) != EOF && n){if (prime(n)){printf("YES\n");}else {printf("NO\n");}}return 0;}

值得说明的是，对不同范围的数，采用不同的a值就可以了。节省时间考虑。

通过下面的测试

http://acm.cs.ecnu.edu.cn/problem.php?problemid=1094

有用的链接

http://blog.csdn.net/hikaliv/article/details/4261948

最后版本的那个思想来自于CSDN。我忘了是哪个的了~~声明一下是转的，但代码是我自己照着写的。谢过先。

高手的链接

http://wenku.baidu.com/view/7433bcd9ad51f01dc281f153.html