数据库之关系代数（理论部分）

1.关系代数简介

关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是用对关系的运算来表达查询的。

关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系

2.关系代数的运算

(1).集合运算

集合运算一般是从行的角度上进行运算，

常见集合的运算:

并(Union)

定义：设关系R和关系S具有相同数目的列n（即两个关系都有n个属性），且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的并由属于R或属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作：

R∪ S =｛t ｜ t∈R ∨ t∈S｝

理解：首先选择R中的所有元组，然后选择S中不属于R的元组。

举例：如图2.6(c)

 

差(Difference)

定义：设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作：

R－S =｛t｜t∈R ∧ フt∈S｝

举例：如图2.6(d)

 

三、交(Intersection)

定义：设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作：

R∩S =｛t｜t∈R ∧ t∈S｝

举例：如图2.6(e)

 

四、广义笛卡尔积(Extended Cartesian Product)

定义：两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个(n+m)列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组

 

 

(2).关系运算

关系运算包括：选择、投影、连接、除等

选择:

选择(Selection)

定义：选择又称为限制(Restriction)。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作：

其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值‘真’或‘假’。

注：逻辑表达式F的基本形式为：

θ表示比较运算符，它可以是＞、≥、＜、≤、＝或≠。X1、Y1等是属性名或常量或简单函数。属性名也可以用它的序号来代替。φ表示逻辑运算符，它可以是フ、∧或∨。[ ]表示任选项，即[ ]中的部分可以要也可以不要，…表示上述格式可以重复下去。

因此选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。这是从行的角度进行的运算

理解：选择部分行

投影(Projection)

定义：关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作：

其中A为R的属性列。

理解：选择部分列

注:投影之后由于产生了完全相同的行，应取消这些完全相同的行

连接(Join)

定义：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：

其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

理解：从笛卡尔积中选择满足一定条件的部分行。

说明：

① 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接：等值连接(equi-join)和自然连接(Natural join)。

② θ为“＝”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组。即等值连接为：

③ 自然连接（Natural join）是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重复的属性去掉。即若R和S具有相同的属性组B，则自然连接可记作：

除(Division)

定义：给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X, Y, Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。记作：

其中Yx为x在R中的象集，