不连续数列的最大和、最大连续数列和、最大间隔环

1、问题：求不连续数列的最大和。

 

2、解释：不连续是指两个数在原始数列中必须是间隔的，比如对原始数列{ 1,2，3,4,5 }，其不连续数列的最大和为9，对应的不连续数列为{1,3,5}，注意1、3是间隔的，3、5也是间隔的。

 

3、分析：设原始数列为a，当前（待求）的最优解是s[i]，则对当前位置i，分两种情况：

（1）    如果满足条件的数列中无该数a[i]，则s[i]=s[i-1];

（2）    如果满足条件的数列中有该数a[i]，则s[i]=max(a[i],s[i-2],a[i]+s[i-2])

注：对（1），因为最优解中无当前数a[i]，则a[i]前面的所有数的最优，即s[i-1]；

对（2），因为最优解中有当前数a[i],而要求最优解的数列是不连续的，则a[i]的前一个数必须不能要，只能看a[i]往前的第2个数的最优解（s[i-2]），则相当于从2个数s[i-2],a[i]中选择0－2个数，组成最大和(要考虑数值的正负性,比如如果s[i-2]<0,a[i]>0，则当前最优解为s[i]=a[i],即只有当前的一个数。因为前面的最优解s[i-2]为负，a[i]加上s[i-2]后反而小，不是最优解)，即为max (a[i],s[i-2],a[i]+s[i-2]).

 

4、我自己在考虑这个题目时，没有用数组s[i]，只用{无、有、最优}这3个变量（设分别为no、yes、best，分别对应无当前值a[i]、有当前值a[i]、最后的最优解(相当于求max)，且这3个变量的初始值全为0。

3中分析的2种情况相当于是：

（1）    如无该数a[i]，则no= (前一个best);

（2）    如有该数a[i]，则yes= max(a[i],a[i]+ (前一个no));

（3）    best=max(no, yes).

当前的no的值等于前一个best的值（因为无当前数a[i]，故此时最优解是前一个的是优解）；当前的yes的值等于前一个no，再加上当前值a[i]（因为有当前值a[i]，前一个值a[i-1]不能有（即为前一个的no））；当前的best为当前no和yes的最大值，即max(no,yes)。这3个值与上面分析中讲的其实是一样的，因为前一个no就等于s[i-2]，而且yes的值等于当前a[i]加上当前值往前数第二个数的最优解s[i-2]，注意yes值可能为负，但由于no、yes、best的初始值全为0，故总有no >=0，也有best=max(no,yes) >=0，表明如果原始数列全为负，则表示一个数都不选，如果题目要求必须选的话，则只需选数列a中最大的一个负数即可。

举例如下：对原始数组a{ -12, -20, 80, -36, 50, 90, 43, 1 }，最优解是173＝{80, 50, 43}。计算过程如下：

注：顺序是从左到右，从上到下。表格中130={80,50}表示此时和为130，数列为{80,50}

 

初

值

-12

-20

80

-36

50

90

43

1

无

(no)

0

0={}

0={}

0={}

80=

{80}

80=

{80}

130=

{80,50}

170=

{80,90}

173=

{80,50,43}

有

(yes)

0

-12=

{-12}

-20=

{-20}

80=

{80}

-36=

{-36}

130=

{80,50}

170=

{80,90}

173=

{80,50,43}

171＝

{80,90,1}

最优

(best)

0

0={}

0={}

80=

{80}

80=

{80}

130=

{80,50}

170=

{80,90}

173=

{80,50,43}

173=

{80,50,43}

 

5、参考源代码如下：

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

using namespace std;

 

 

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

    int aiData[]={ -12,       -20,      80,      -36,      50,      90,      43,     1 };//原始数组

    int iNum= 8;//原始数组的元素个数

    int iMax_no, iMax_has, iMax_best;

    iMax_no= iMax_has= iMax_best= 0;//no,yes,best初始值全为0

 

    int iTemp;

    for ( int i= 0; i< iNum; ++i)//从前往后一次遍历

    {

       iTemp= iMax_no;//保存没有前一个数时的最优解（即s[i-2]）

       iMax_no= iMax_best;//无当前值a[i](即s[i-1])

       iMax_has= iTemp+ aiData[ i];//有当前值a[i](即s[i-2]+a[i])

       iMax_best= iMax_no> iMax_has? iMax_no: iMax_has;// best=max(no,yes)

    }

    cout<< "最大间断子序列和为: "<< iMax_best<< endl;   

    system("pause");

    return 0;

}

 

如果想输出满足条件的数列的所有值，参考以下代码：

（注意，在前面加上#include <vector>）

int aiData[]={  -12,       -20,      80,      -36,      50,      90,      43,     1};//原始数组

    int iNum= 8; //原始数组的元素个数

    int iMax_no, iMax_has, iMax_best;

    iMax_no= iMax_has= iMax_best= 0; //no,yes,best初始值全为0

 

    vector< int> vbIndex_no, vbIndex_best, vbIndex_temp;//数列向量，以便输//出

    int iTemp;

    for ( int i= 0; i< iNum; ++i)

    {

       iTemp= iMax_no; //保存没有前一个数时的最优解（即s[i-2]）

       iMax_no= iMax_best; //无当前值a[i](即s[i-1])

       iMax_has= iTemp+ aiData[ i]; //有当前值a[i](即s[i-2]+a[i])

       vbIndex_temp= vbIndex_no;//保存没有前一个数时的最优解（即s[i-2]）//时对应的向量

       vbIndex_no= vbIndex_best;//无当前值a[i](即s[i-1]) 时对应的向量

 

       if ( iMax_no>= iMax_has)

       {

           iMax_best= iMax_no;// best=max(no,yes)       

       }

       else

       {

           iMax_best= iMax_has;// best=max(no,yes)

           vbIndex_best= vbIndex_temp;//没有前一个数时的最优解（即s[i-2]）//时对应的向量

           vbIndex_best.push_back( i);//向量中加上当前值

       }

    }

 

    cout<< "最大间断子序列和为: "<< iMax_best/*<< endl*/;

    cout<<"=\t";

    for ( int i= 0; i< ( int)vbIndex_best.size(); ++i)

    {

       cout << aiData[ vbIndex_best[ i]]<<"\t";

    }

    cout<< endl;

 

6、下面看“最大连续子序列和”的问题，与“不连续数列的最大和”的分析大同小异：

(1) 不连续数列的最大和：

<1>如无该数a[i]，则no= ((前一个best);

<2>如有该数a[i]，则yes= max(a[i],a[i]+ (前一个no));

<3>best=max(no, yes).

(2) 最大连续子序列和：

<1>如无该数a[i]，则no=((前一个best);

<2>如有该数a[i]，则yes= max(a[i],a[i]+ (前一个yes));

<3> best=max(no, yes).

比较发现，唯一的区别是yes的值：第1个与(前一个no)有关，第2个与(前一个yes)有关。第1个因为是不连续的，所以不能有前一个；而第2个因为是连续的，所以必须有前一个。

 

“最大连续子序列和”的参考代码如下（与“不连续数列的最大和”很相似，只有一行红色标注的不同）：

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

using namespace std;

 

 

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

    int aiData[]={ -12,       -20,      80,      -36,      50,      90,      43,     1 };//原始数组

    int iNum= 8;//原始数组的元素个数

    int iMax_no, iMax_has, iMax_best;

    iMax_no= iMax_has= iMax_best= 0;//no,yes,best初始值全为

 

    for ( int i= 0; i< iNum; ++i)//从前往后一次遍历

    {

       iMax_no= iMax_best;//无当前值:no=((前一个best)

       iMax_has= aiData[ i]+ ( iMax_has>0? iMax_has: 0);//有当前值:yes= max(a[i],a[i]+ (前一个yes))

       iMax_best= iMax_no> iMax_has? iMax_no: iMax_has;// best=max(no, yes) 

    }

 

    cout<< "最大不连续子序列和为: "<< iMax_best<< endl;

 

    system("pause");

    return 0;

}

 

注：“最大连续子序列和”，与“不连续数列的最大和”很相似，只是间隔的个数不一样（“最大连续子序列和”的2数之间的间隔为0；“不连续数列的最大和” 的2数之间的间隔大于等于1）。

 

7、扩展：前面的“不连续数列的最大和”问题其实是另一个问题BadNeighbors - 2004 TCCC Round 4的基础，BadNeighbors题目如下：n个数围成一个圆圈，求最大的子集和使得每一个数都不和其他任何数是相邻的。

分析：这其实相当于求前n-1个数和后n-1个数的不连续数列的最大和，（设数组索引从0开始）即a[0->n-2]、a[1->n-1]这2个数组的不连续数列的最大和（这样必不会出现首尾相连的情况，满足条件），即求2次前面讲的不连续数列的最大和即可，并取其中较大者为答案。