B+树

 

B+树可以看作是B树的变形，对于存放在外存贮器上的字典，B+树比B树更为常用。

一个m阶的B+树满足下列条件∶

(1) 每个结点至多有m棵子树。

(2) 除根结点外，其它每个分支至少有m/2棵子树。

(3) 非叶结点的根结点至少有两棵子树。

(4) 有n棵子树的结点有n个关键码，叶结点中至少包含n/2个关键码。

(5) 叶结点都在同一层中，其中存放数据文件中记录的关键码及指向该记录的指针，或存放数据文件分块后每块的最大关键码及指向该块的指针。叶结点按关键码值大小顺序链接。可以把每个叶结点看成是一个基本索引块(直接指向数据文件中的记录)。

(6) 所有分支结点可看成是索引的索引。使结点中仅包含它的各个子结点中最大(或最小)关键码的分界值及指向子结点的指针。

 

B+树的查找

对B+树可以进行两种查找运算：

1.从最小关键字起顺序查找；

2.从根结点开始，进行随机查找。

在查找时，若非终端结点上的剧组机等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径。其余同B-树的查找类似。

B+树的插入

m阶B树的插入操作在叶子结点上进行，假设要插入关键值a，找到叶子结点后插入a，做如下算法判别：

①如果当前结点是根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则算法结束；

②如果当前结点是非根结点并且插入后结点关键字数目小于等于m，则判断若a是新索引值时转步骤④后结束，若a不是新索引值则直接结束；

③如果插入后关键字数目大于m(阶数)，则结点先分裂成两个结点X和Y，并且他们各自所含的关键字个数分别为：u=大于(m+1)/2的最小整数，v=小于(m+1)/2的最大整数；

由于索引值位于结点的最左端或者最右端，不妨假设索引值位于结点最右端，有如下操作：

如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是根结点，则从X和Y中取出索引的关键字，将这两个关键字组成新的根结点，并且这个根结点指向X和Y，算法结束；

如果当前分裂成的X和Y结点原来所属的结点是非根结点，依据假设条件判断，如果a成为Y的新索引值，则转步骤④得到Y的双亲结点P，如果a不是Y结点的新索引值，则求出X和Y结点的双亲结点P；然后提取X结点中的新索引值a’，在P中插入关键字a’，从P开始，继续进行插入算法；

④提取结点原来的索引值b，自顶向下，先判断根是否含有b，是则需要先将b替换为a，然后从根结点开始，记录结点地址P，判断P的孩子是否含有索引值b而不含有索引值a，是则先将孩子结点中的b替换为a，然后将P的孩子的地址赋值给P，继续搜索，直到发现P的孩子中已经含有a值时，停止搜索，返回地址P。

B+树的删除

B+树的删除也仅在叶子结点进行，当叶子结点中的最大关键字被删除时，其在非终端结点中的值可以作为一个“分界关键字”存在。若因删除而使结点中关键字的个数少于m/2 （m/2结果取上界，如5/2结果为3）时，其和兄弟结点的合并过程亦和B-树类似。

另外的看法，当作补充和丰富吧。B树，B-树和B+树是三个不同的概念。