求用1,2,5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数
来源:互联网 发布:重新分区后数据恢复 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 12:29
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写一个程序, 要求功能:求出用1,2,5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数。
如:100个1是一个组合,5个1加19个5是一个组合。。。。
答案:最容易想到的算法是:
设x是1的个数,y是2的个数,z是5的个数,number是组合数
注意到0<=x<=100,0<=y<=50,0<=z=20,所以可以编程为:
- number=0;
- for (x=0; x<=100; x++)
- for (y=0; y<=50; y++)
- for (z=0; z<=20; z++)
- if ((x+2*y+5*z)==100)
- number++;
- cout<<number<<endl;
上面这个程序一共要循环100*50*20次,效率实在是太低了
事实上,这个题目是一道明显的数学问题,而不是单纯的编程问题。我的解法如下:
因为x+2y+5z=100
所以x+2y=100-5z,且z<=20 x<=100 y<=50
所以(x+2y)<=100,且(x+5z)是偶数
对z作循环,求x的可能值如下:
z=0, x=100, 98, 96, ... 0
z=1, x=95, 93, ..., 1
z=2, x=90, 88, ..., 0
z=3, x=85, 83, ..., 1
z=4, x=80, 78, ..., 0
......
z=19, x=5, 3, 1
z=20, x=0
因此,组合总数为100以内的偶数+95以内的奇数+90以内的偶数+...+5以内的奇数+1,
即为:
(51+48)+(46+43)+(41+38)+(36+33)+(31+28)+(26+23)+(21+18)+(16+13)+(11+8)+(6+3)+1
某个偶数m以内的偶数个数(包括0)可以表示为m/2+1=(m+2)/2
某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2
所以,求总的组合次数可以编程为:
- number=0;
- for (int m=0;m<=100;m+=5)
- {
- number+=(m+2)/2;
- }
- cout<<number<<endl;
这个程序,只需要循环21次, 两个变量,就可以得到答案,比上面的那个程序高效了许多
倍----只是因为作了一些简单的数学分析
这再一次证明了:计算机程序=数据结构+算法,而且算法是程序的灵魂,对任何工程问题,当用软件来实现时,必须选取满足当前的资源限制,用户需求限制,开发时间限制等种种限制条件下的最优算法。而绝不能一拿到手,就立刻用最容易想到的算法编出一个程序了事——这不是一个专业的研发人员的行为。
那么,那种最容易想到的算法就完全没有用吗?不,这种算法正好可以用来验证新算法的正确性,在调试阶段,这非常有用。在很多大公司,例如微软,都采用了这种方法:在调试阶段,对一些重要的需要好的算法来实现的程序,而这种好的算法又比较复杂时,同时用容易想到的算法来验证这段程序,如果两种算法得出的结果不一致(而最容易想到的算法保证是正确的),那么说明优化的算法出了问题,需要修改。
可以举例表示为:
- #ifdef DEBUG
- int simple();
- #end if
- int optimize();
- ......
- in a function:
- {
- result=optimize();
- ASSERT(result==simple());
- }
这样,在调试阶段,如果简单算法和优化算法的结果不一致,就会打出断言。同时,在程序的发布版本,却不会包含笨重的simple()函数。——任何大型工程软件都需要预先设计良好的调试手段,而这里提到的就是一种有用的方法。
**************************************************可执行代码******************************************
- #include <iostream>
- #include <cmath>
- using namespace std;
- int SimpleSolution();
- int optimize();
- void main()
- {
- int number1,number2;
- cout<<"求用1,2,5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数"<<endl;
- number1=SimpleSolution();
- cout<<"Simple solution:"<<number1<<endl;
- number2=optimize();
- cout<<"Optimize solution:"<<number2<<endl;
- }
- int SimpleSolution()
- {
- int number(0);
- for(int i=0;i<=100;i++)
- for(int j=0;j<=50;j++)
- for(int k=0;k<=20;k++)
- {
- if(i+2*j+5*k==100)
- number++;
- }
- return number;
- }
- int optimize()
- {
- int number=0;
- for(int m=0;m<=100;m+=5)
- {
- number+=(m+2)/2;
- }
- return number;
- }
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