路由端口竞争公平性问题

问题背景：随着网络技术的发展，数据传送速率越来越快，而数据总是要在网络中的一些节点处发生交换、路由等操作，这就要求路由器的交换速率要随着数据传送速率的增加而不断增长。提高路由器交换速率的途径有两条：一是采用更高速的开关器件，二是改进配置路由器中的开关的算法。

 

并行迭代匹配算法（Parallel Iterative Matching，简称为PIM算法）[1]是目前已投入商用的一种算法。这个算法分为3步：1、请求。每一个未被匹配的有等待队列的输入端口发送请求到需求的输出端口；2、授权。未被匹配的输出端口收到请求后，均匀等概率地随机授权给一个请求；3、确认。输入端口得到授权后也均匀等概率地随机授权给一个输出端。下图给出了这三个步骤的一个示例。

这个算法可以重复进行多次，直到输入端口和输出端口达到一个“极大”匹配（注意不是最大匹配）。但是这个算法也存在一些问题，比如说由于在输入端口和输出端口都采用等概率选取的方式，可能造成端口间的不公平性问题，一个例子如下图所示[2]。

下面以博弈论观点来分析这个问题，为方便起见用I₁、I₂分别表示输入的两个端口，用O₁、O₂分别表示输出的两个端口。显然I₁有两个数据包λ_1,1和λ_1,2在竞争端口一的使用权，在传统的PIM算法中采用等概率选取的方法来解决端口竞争问题，下面考虑三个数据包λ_1,1、λ_1,2和λ_2,1的“收益”情况。根据前面描述的PIM算法O₂只会授权给I₁（用O₂→I₁表示），而O₁会等可能地授权给I₁或I₂（分别用O₁→I₁和O₁→I₂表示），于是可能出现两种授权情况，分别是（O₁→I₁，O₂→I₁）和（O₁→I₂，O₂→I₁），两种情况的概率均为1/2。从而三个数据包的“收益”情况如下表所示。

从而λ_1,1的期望收益为1/4，λ_1,2的期望收益为3/4，λ_2,1的期望收益为1/2，可见三个数据包的期望收益不等，它们之间是不公平的！

 

但如果调整PIM算法不再等概率选取端口，则有可能解决不公平的问题。比如可以假设当λ_1,1和λ_1,2都被输出端口授权时，I₁选取λ_1,1的概率为p，选取λ_1,2的概率为1-p；同时在输出端口选取（O₁→I₁，O₂→I₁）和（O₁→I₂，O₂→I₁）两种授权方式的概率分别为q和1-q。那么三个数据包的“收益”情况变为下表。

从而λ_1,1的期望收益为pq，λ_1,2的期望收益为q(1-p)+ 1-q=1-pq，λ_2,1的期望收益为1-q。要使三个数据包公平，即要求它们的期望收益满足如下方程pq=1-pq =1-q，可以解出p =1，q =1/2。

 

这样即可使三个数据包达到公平。

 

但是，对于一般的多个端口的问题，要求解的是一组非线性方程，这组方程可能没有解，即使有解，求解也可能十分困难。