常用的离散数学中的几个概念以及自己的几点拙见

1、等价关系（Equivalence Relation）

设~是集合G上的一个二元关系，若满足以下条件：

（1）自反性：对任何a∈G，有a~a

（2）对称性：对任何a，b∈G，有a~b，则b~a

（3）传递性：对任何a，b，c∈G，有a~b且b~c，则a~c

则称~为G中的一个等价关系。

2、等价类（Equivalence Class）

集合b={x|x∈G，x~a}，即集合G中所有与a等价的元素x组成的子集b，称为a所在的等价类，也就是说等价类是与某元素等价的所有元素组成的集合，等价类是个集合。

3、同余关系（Congruence Relation）

设m为非零常数，a、b为整数，如果m|a-b（这个形式看着让人蛋疼！谁特么发明的？我们矩阵老师说的对，数学很简单，就是让这些符号搞复杂了！），称a与b对模m是同余关系。

定义不好理解，其实同余关系很简单。对于非零常数m（因为不能模除0），如果整数a%m=b%m，那么以对m的模运算为背景看a与b的关系，这个关系就是同余关系。

同余关系是一种等价关系，可以按照等价关系那三个性质来证明。

4、同余类（Congruence Class）

集合b={x|x ≡ a%m}称为模m的同余类。即模除m后具有相同余数的所有元素组成的集合叫做同余类，同余类也是集合。集合个数为m-1个，因为模除嘛，余数肯定是【0，m）这m-1个数中的一个。

5、群（Group）

G为非空集合，如果在G上定义的二元运算 *，满足：

（1）封闭性：对于任意a，b，c∈G，有a*b∈G

（2）结合律：对于任意a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）

（3）幺元 ：存在幺元e，使得对于任意a∈G，e*a=a*e=a

（4）逆元：对于任意a∈G，存在逆元a^-1，使得a^-1*a=a*a^-1=e

则称（G，*）是群，简称G是群。

如果仅满足封闭性和结合律，则称G是一个半群（Semigroup）。

如果仅满足封闭性、结合律并且有幺元，则称G是一个含幺半群（Monoid）。

回头再看看群的定义，那不就是矩阵集合和乘法运算嘛，矩阵乘法满足封闭性，肯定满足结合律，有幺元就是单位矩阵，有逆元就是矩阵的逆而且矩阵与其逆的乘积为单位矩阵。细分起来就能看出有的矩阵四个条件都满足，有的只满足前几个。

其实要是学过线性代数或者矩阵基础理论，里面有个线性空间的定义，跟这个就差不多。

（5）对于任意a，b∈G，有a*b=b*a

则称G为交换群或阿贝尔群（Abel Group）。（有的矩阵也满足交换律。所以群这个概念很好理解，很好记。记住群的概念，什么半群、含幺半群、阿贝尔群都不在话下啦！）

6、群的幺元是唯一的，群中元素的逆元也是唯一的。

7、无限群：群中元素个数是无限个时，叫做无限群。

有限群：群中的元素个数是有限个时，叫做有限群。

群的阶：群的元素个数就叫做群的阶。

元素的阶：满足a^n=e的最小正整数n，成为元素a的阶。如果a^n=e永不成立，则称a的阶无穷大。

8、循环群

a∈G，H={a^k|k∈Z}若满足：

（1）封闭性：对于任意a^k1,a^k2∈G，有a^k1*a^k2=a^(k1+k2)∈G

（2）结合律：对于任意的a^k1,a^k2,a^k3∈G，有（a^k1*a^k2）*a^k3=a^k1*（a^k2*a^k3）

（3）幺元：幺元仍为是G的幺元e

（4）逆元：对于人一定a^k∈G，逆元a^(-k)∈G，a^k*a(-k)=a^(-k)*a^k=e

那么H就是G的循环子群，a叫做群H的生成元。

9、环

集合G以及定义在G上的封闭运算+和*，若满足：

（1）（G，+）是交换群

（2）（G，*）满足结合律-------其实就是说（G，*）是个半群

（3）（G，+，*）满足分配率：对于任意a，b，c∈G，有a*（b+c）=a*b+a*c

则称（G，+，*）是环，简称G是环。

如果（G，*）满足交换律，则G是交换环。

10、域

集合G以及定义在G上的封闭运算+和*，若满足：

（1）（G，+）是交换群

（2）（G，*）是交换群（这里跟环不同）

（3）（G，+，*）满足分配率：对于任意a，b，c∈G，有a*（b+c）=a*b+a*c

则称（G，+，*）是域，简称G是域。