5.18 右移k位

5.18 试设计一个算法，将数组An中的元素A[0]至A[n-1]循环右移k位，并要求只用一个元素大小的附加存储，元素移动或交换次数为O(n)

 

void RSh(int A[n],int k)//把数组A的元素循环右移k位,只用一个辅助存储空间{  for(i=1;i<=k;i++)    if(n%i==0&&k%i==0) p=i;//求n和k的最大公约数p  for(i=0;i<p;i++)   {    j=i;l=(i+k)%n;temp=A[i];    while(l!=i)    {      A[j]=temp;      temp=A[l];      A[l]=A[j];      j=l;l=(j+k)%n;    }// 循环右移一步    A[i]=temp;  }//for}//RSh

分析:要把A的元素循环右移k位,则A[0]移至A[k],A[k]移至A[2k]......直到最终回到A[0].然而这并没有全部解决问题,因为有可能有的元素在此过程中始终没有被访问过,而是被跳了过去.分析可知,当n和k的最大公约数为p时,只要分别以A[0],A[1],...A[p-1]为起点执行上述算法,就可以保证每一个元素都被且仅被右移一次,从而满足题目要求.也就是说,A的所有元素分别处在p个"循环链"上面.举例如下:
n=15,k=6,则p=3.
第一条链:A[0]->A[6],A[6]->A[12],A[12]->A[3],A[3]->A[9],A[9]->A[0].
第二条链:A[1]->A[7],A[7]->A[13],A[13]->A[4],A[4]->A[10],A[10]->A[1].
第三条链:A[2]->A[8],A[8]->A[14],A[14]->A[5],A[5]->A[11],A[11]->A[2].
恰好使所有元素都右移一次.

一般的，举例如下

序列为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9，移位为7，10和7的最小公倍数位70，最大公约数为1

移位过程如下

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... ...
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 ... ...

证明如下：

序列长度为N，移位长度为X，M为X%N即最小非循环移位数

N和M最大公约数为1
N和M最小公倍数为N*M

试证明，到达重复元素时，N已经完全被遍历。

设到达重复元素时，N未完全遍历，遍历个数为n

n*M < N*M， n < N

即共移动了n次，就达到了重复元素。

因为M和N无大于1的公约数，n<N，所以n*M/N不能整除；所以不可能在n < N时，到达重复元素。

即到达重复元素时，N已经完全被遍历。

有公约数〉1的情况类似