[POI2007]Zap

这道题很难……不看题解做不出……（实际上看了题解也不是很懂……）

我觉得CLJ和JZP都没有说清楚……

这道题是容斥，但做的时候实际上是莫比乌斯反演（话说莫比乌斯反演也就是容斥）

他要求gcd(x,y)=d,x<=a,y<=b的x,y的对数

实际上就是求gcd(x,y)=1,x<=a/d,y<=b/d的对数

设f(k)为gcd=k的，F(k)为gcd为k的倍数的

显然F(k)=sigma(f(d)) (k|d)

f(k)不好求，但是F(k)比较好求，它等于(a/k)*(b/k)

那么我们可以通过F来反解出f

f(k)=sigma(F(d/k)*μ(d)) (k|d)

现在要求f(1)，那么我们可以通过F(k)反解出F(1)

因为1可以整除所有数

f(1)=sigma(F(d)*μ(d))(1<=d<=min(a,b))

这样复杂度并没有变，还是n*(min(a,b))

但是可以证明对于连续的一段k，F(k)的值是一样的

那么我们把它分成一段，不同的段最多只有2sqrt(n)，也就是√n级别

同时用前缀和维护一下μ，因为是sigma，所以可以用这一段的μ的前缀和乘上这一段的F(k)

对于一个F(k)，和它一样的值所对应的长度为min(a/(a/k),b/(b/k))

话说这种题考场上绝对写不出来的……Orz JZP，现在这种题可以在考场上写出来了……

数论就是蛋疼……

//Lib#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<ctime>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#include<string>#include<queue>#include<set>#include<map>using namespace std;//Macro#definerep(i,a,b)for(int i=a,tt=b;i<=tt;++i)#definedrep(i,a,b)for(int i=a,tt=b;i>=tt;--i)#defineerep(i,e,x)for(int i=x;i;i=e[i].next)#defineirep(i,x)for(__typedef(x.begin()) i=x.begin();i!=x.end();i++)#defineread()(strtol(ipos,&ipos,10))#definesqr(x)((x)*(x))#definepbpush_back#definePSsystem("pause");typedeflong longll;typedefpair<int,int>pii;const int oo=~0U>>1;const double inf=1e100;const double eps=1e-6;string name="", in=".in", out=".out";//Varint u[50008],n,ans;int calc(int x){int ret=1;for(int i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){x/=i,ret*=-1;if(x%i==0)return 0;}if(x!=1)ret*=-1;return ret;}void Work(){rep(i,1,50000)u[i]=u[i-1]+calc(i);scanf("%d",&n);int len,a,b,d;rep(i,1,n){scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);if(a>b)swap(a,b);a/=d;b/=d;ans=0;rep(pos,1,a){len=min(a/(a/pos),b/(b/pos))-pos;ans+=(a/pos)*(b/pos)*(u[pos+len]-u[pos-1]);pos+=len;}cout<<ans<<endl;}}int main(){//freopen((name+in).c_str(),"r",stdin);//freopen((name+out).c_str(),"w",stdout);//Init();Work();return 0;}