由扔骰子看平均概率生成

由扔骰子看平均概率生成

昨天读到一个帖子，说如何通过扔骰子的方法得到7件事的平均概率情况（扔骰子只能得到6件事的均概率），其中一种解法为，扔两次，分别记为x,y,则定义计算式m=(x-1)*6+y,可得到m的范围为1-36，且m为均概率事件，则剩下要做的就很简单了，去掉36这一项，剩下的mod7即可。

通俗点说若想得到7件事的均概率，则必须能够通过计算得到m件事的均概率且m>=7,(上题m=36)，然后再进行取舍。

因此，若想通过骰子得到4件事的均概率，则不需要定义新的计算式，因为掷骰子本身就是6件事的均概率（m=6且6>4），则对掷出的结果去掉5,6两项，剩下的mod4即可。

还有一种通解但是成功概率小很多的情况（本题求7的均概率成功率比较大，因为只有36这一种情况要舍弃），若需要n件事的概率，则先求得n转换为六进制数所需要的位数m，m就是转动骰子的次数(每转一次确定一位),转动m次后得到m个数字，计算得到六进制随机值p，如果p>n，则抛弃这次的投掷，否则认为是成功的投掷，但这样会大大降低得到可用解的概率，所以还需引申公式。

进而推广成为平均概率生成的问题，已知函数randM()可以等概率生成1~m的数字，试编写函数randN()，要求等概率生成1~n的数字

根据以上结论，分两种情况

1、若n<=m，则比较简单，通过取余便可得到（注意去掉多余的项数）

randN()

{

     m=randM();

     while(m>n)

     {

              m=randM();

     }

     return m;

}

 

2、若n>m,首先计算k,使得m^k>n>m^(k-1)，k即为利用原函数的次数（上题即为掷骰子次数）,利用掷k次骰子（用k次原函数）可得到m^k次种均概率事件且m^k>n,为方便后面讨论，记m^k=x.此时，依然有两种接法。

法一，生成概率比较低，但思路简答，将生成的x种均概率记为x种不同的情况，取其中的前n种即可（后面的舍弃）  注：此时虽然生成x种不同的均概率，但并非1~x的均概率事件

法二，生成概率较高，但需要一步运算，分别记k次利用randN()得到的数为k1,k2…kk,则通过公式k1+(k2-1)·k+(k3-1)·k^2……得到1~x的均概率，通过此种方法舍弃的情况可以减少，从而大大提高命中率

下面举一个例子，已知rand4(),要求生成1~31的均概率

rand31()

{

     int x=rand4();

     int y=rand4();

     int z=rand4(); //因为4^3>31>4^2,所以原概率要利用3次，即k=3

     int m=x+(y-1)*4+(z-1)*64; //则m为1-64的均概率

     if(m>62)

              重新生成x,y,z,重新计算m;

     else

              return   (m%31)+1;成功得到1-31的均概率，且命中率为31/32

 

}

 

解释：虽然此类解法可以生成1-m的均概率，但不能保证概率之和相加为1，因此有命中率一词，生成结果有效，不需要重新生成的概率越大，命中率越高。显然，在同样能实现1-m均概率的各种方法中，命中率应该越高越好。