总有一种力量，能够让你思绪万千

《从哥德巴赫到陈景润》—— 序  [转载]
文/田廷彦

“上帝创造了自然数，其余一切都是人为。”   ——德国数学家克罗内克(L.Kronecker)
如果说整数是如此的基本，那么素数则充满了神秘。素数在数论乃至全部数学中扮演了至关重要的角色，带给每一位智者无法割舍的情结和难以形容的喜悦。

素数主要是希腊数学的产物，早在公元前6世纪的毕达哥拉斯(Pythagoras)学派就有研究。后来，欧几里得(Euclid)在他的伟大著作《几何原本》中有过介绍，这些命题可以说对初等整数论的基本结果做了相当完整的总结。之后数学一直缓慢地发展着，直到17世纪，法国的一位律师、业余数学家费马(P.Fermat)重新燃起了人们对数论的兴趣，他本人也做出了许多杰出的成就。18世纪中叶，当时世界上两位最伟大的数学家——瑞士的欧拉(L.Euler)和法国的拉格朗日(L.Lagrange)都十分钟情于曾被忽略上千年的数论，使数论的地位大幅提高。18世纪末期，一位数学天才横空出世，他就是高斯(C.F.Gauss)，作为有史以来最伟大的数学家之一，高斯一生贡献无数，但他最钟爱的则是年轻时做的第一项工作——数论。

在数学中素有“六大难题”的说法，即古代“三大尺规作图问题”——三等分任意角、倍立方、化圆为方，以及近代的费马大定理、哥德巴赫猜想、四色定理。在数学家们的不懈努力下，六大难题中如今只剩哥德巴赫猜想依然悬而未决。就这六大难题的解决情况来看，也十分耐人寻味。“三大尺规作图问题”困扰了数学家几千年，到19世纪群论建立后几乎一举解决。四色定理则是早就给出了解决方案，等计算机的计算速度提高后也很快就被证明。至于费马大定理，在1637年提出至1994年解决前，阶段性成果时断时续。相比之下，哥德巴赫猜想十分之特殊，在它提出将近200年里，人们对它几乎是束手无策。可以说哥德巴赫猜想是六大难题中“最难啃的骨头”，260年过去了，这颗明珠依然光芒四射，令人神往却又遥不可及。

信中提出的猜想
20岁之后，哥德巴赫(C.Goldbach)开始游历欧洲，结识了莱布尼茨(G.W.Leibniz)、伯努利(Bernoulli)兄弟等著名数学家。1725年左右，他自荐前往彼得堡科学院任职，几经周折后方获批准。两年后，瑞士大数学家欧拉也来到科学院，两人结为好友。1728年1月，哥德巴赫受命调往莫斯科，担任沙皇彼得二世等人的家庭教师，于1764年在莫斯科去世。尽管是非职业数学家，但他出于对数学的敏锐洞察力，以及与许多大数学家的交往，积极推动了数学的发展。

从1729年到1763年，哥德巴赫一直保持与欧拉通信，讨论数论问题。1742年6月，当时在柏林科学院的欧拉收到移居莫斯科的哥德巴赫的来信，全文如下：

        欧拉，我亲爱的朋友！你用极其巧妙而又简单的方法，解决了千百人为之倾倒而又百思不得其解的七桥问题，使我受到莫大的鼓舞，一直鞭策着我在数学的大道上前进。
        经过充分的酝酿，我想冒险发表一个猜想。现写信以征求你的意见。我的意见如下：随便取某个奇数，比如77，它可以写成三个素数之和：77=53+17+7，再任取一个奇数461，那么461=449+7+5也是三个素数之和。461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我就发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但是怎样证明呢？虽然任何一次试验都可以得到上述结果，但不可能把所有奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验，你能帮忙吗？            ——哥德巴赫  1742年6月7日

其实，这一猜想早在笛卡尔(R.Descartes)的手稿中就出现过。哥德巴赫出现为时已晚了100多年。看来一个重要的猜想迟早会受到人们的重视。不久，欧拉回了信：

        哥德巴赫，我的老朋友，你好！感谢你在信中对我的颂扬！
        关于你的这个命题，我做了认真的推敲和研究，看来是正确的。但是，我也给不出严格的证明。这里，在你的基础上，我认为：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。不过，这个命题也不能给出一般性的说明。但我确信它是完全正确的。            ——欧拉  1742年6月30日

后来，欧拉把他们的信公布于世，呼吁世界上的数学家们共同求解这个难题，数学界把他们通信中涉及的问题统称为“哥德巴赫猜想”。1770年，华林(E.Waring)将哥德巴赫猜想发表出来。由于人们早已证明“每个充分大的奇数是三素数之和”，现在的哥德巴赫猜想亦仅指偶数哥德巴赫猜想。

“上帝让素数相乘，人类让素数相加。”   ——前苏联物理学家朗道(L.D.Landau)
整整2000年，人们一想到素数就是把它们相乘，没人想知道素数相加又是怎么回事。连20世纪前苏联最有名的物理学家朗道(L.D.Landau)在读到哥德巴赫猜想时，也不禁惊呼：“素数怎么能相加呢？素数是用来相乘的！”这么说来，克罗内克的话可以改造成“上帝让素数相乘，人类让素数相加”。提出这个猜测确实需要想象力，不过朗道也不无道理，所有这类“人为”的猜想都要冒些风险，多数因为对数学价值不大而被遗忘或忽略。好在哥德巴赫猜想并不然，历史证明它是一个具有重大理论价值的命题，完全打开了数学的新境界。

然而，自哥德巴赫、欧拉、华林“激起一点浪花”，18世纪在这个问题上没有取得丝毫进展，整个19世纪也悄无声息……20世纪的钟声快要敲响了。1900年8月，德国数学家希尔伯特(D.Hilbert)走上国际数学家大会的讲坛。在简要回顾了数学的历史及对新世纪的展望后，这位当时的世界数学领袖提出了著名的“23问题”，哥德巴赫猜想被列为第8问题的一部分。最后，希尔伯特以他的祝愿——20世纪带给数学杰出的大师和大批热忱的弟子——结束了他的世纪演讲。不久，他就注意到一位英国数学家开始崭露头角，他的名字叫哈代(G.H.Hardy)。

1920年前后，这位不列颠绅士和同事李特伍德(J.E.Littlewood)写了一篇长达70页的重量级论文，在文章里提到了圆法。哈代在皇家学会的演讲中说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想。”不过，哈代和李特伍德对奇数哥德巴赫猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼(G.F.Riemann)假设——这个猜想到现在也未被证明。1937年，苏联顶尖的数论大师维诺格拉多夫(I.M.Vinogradov)改进了圆法，创造了所谓的三角和（或指数和）估值法。运用这一强有力的方法，维氏无条件基本证明了奇数哥德巴赫猜想，即任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。

为什么是奇数哥德巴赫猜想先解决呢？因为奇数哥德巴赫猜想比较容易，表示成三个整数和的方式要比两个整数和多得多，由此可以得出结论：表示成三个素数和的可能性，也要比表示成两个素数和的可能性大许多，而且它是偶数哥德巴赫猜想的推论：如每个大偶数都能写成两个素数之和，那么任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数，当然减去5，7……也一样。由此看来，偶数哥德巴赫猜想要强得多（自然也难许多），因为它一旦成立，奇数哥德巴赫猜想中的“三个素数”中有一个可随意选取。由于问题久攻不克，数学家们开始考虑从另外的角度来研究这个问题。运用估计的方法，1938年，我国著名数学家华罗庚证明：几乎所有的偶数都是两个素数之和。

从筛法到陈氏定理
还有人对素数本身做出“让步”，即仍然是两个数，但不是素数，而是殆素数，即素因子个数不多的正整数。设N为偶数，现用“a+b”表示如下命题：每个大素数N都可表示为A+B，其中A和B分别是素因子个数不超过a和b的殆素数。显然，哥德巴赫猜想就可写成“1+1”。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。目前看来，殆素数这条途径的成果最为突出。

筛法最早是古希腊著名数学家埃拉托塞尼(Eratosthenes)提出的，这一方法具有强烈的组合味道。不过原始筛法没有什么直接用处。1920年前后，挪威数学家布朗(V.Brun)做了重大改进，并首先在殆素数研究上取得突破性进展，证明了命题“9+9”。后续进展如下：

• 1924年，拉德马赫尔(H.Rademacher)：“7+7”
• 1932年，埃斯特曼(T.Estermann)：“6+6”
• 1937年，里奇(G.Ricci)：“5+7”
• 1938年，布赫夕塔布(A.A.Buchstab)：“5+5”
• 1940年，布赫夕塔布(A.A.Buchstab)：“4+4”
• 1950年，库恩(P.Kuhn)：a+b≤6
• 1956年，王元：“3+4”
• 1957年，维诺格拉多夫(不是前面提到的那位)：“3+3”，王元于同年进一步证明“2+3”

一切都像是奥运会纪录，不断被刷新。可以发现，上述结果有一个共同特点，就是a和b中没有一个是1，要是能证明a=1，再改进b，那就是件更了不起的工作。前苏联天才数学家林尼克(Y.V.Linnik)于1941年提出一种全新的筛法使得这项工作成为可能。人们把这种方法称为大筛法，而原先的筛法则称做小筛法。

1932年，埃斯特曼在广义黎曼假设成立的前提下首先证明了“1+b”，林尼克的学生、匈牙利数学家瑞尼(A.Renyi)于1947年对林尼克的大筛法做了重要改进，结合布朗筛法，于1948年无条件证明了命题“1+b”，b是个确定的数，不过非常大。1962年，潘承洞一下子把b从天文数字降到了5（即“1+5”）。不久王元证明了“1+4”，并指出在广义黎曼假设成立的前提下可得出“1+3”。同一年，潘承洞也证明了“1+4”。然后，布赫夕塔布证明了潘承洞的方法可推出“1+3”。1965年，意大利数学家朋比尼(E.Bombieri)与A.维诺格拉多夫无条件地证明了“1+3”，这是朋比尼获得菲尔兹奖的工作之一。

当时国际数学界有一种观点认为“1+3”已不能再改进。但就在1966年，一位年轻的中国数学家在《科学通报》上刊登了命题“1+2”证明的简报，他就是传奇数学家陈景润。陈景润改进筛法的方法叫“转换原理”，“1+2”被称为“陈氏定理”。数学家们对这个成果极为钦佩。哈伯斯坦(H.Halberstam)与里切特(H.E.Richert)在名著《筛法》的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”华罗庚则说，“1+2”是令他此生最为激动的结果。

整整40年过去了，陈景润所达到的高度依然无人超越。大家公认再用筛法去证明“1+1”几乎是不可能的。尽管国际上为这一猜想的证明屡设重奖，但却始终无人能够领取。目前“1+1”仍是个相当孤立的命题，与主流数学比较脱节。数学界的普遍看法是，要证明“1+1”必须发展革命性的新方法。

“明星”科学家喜忧录
以上就是哥德巴赫猜想的研究简史，但对于这个猜想和陈景润，还有不少话要说。

十年浩劫结束后，《哥德巴赫猜想》传遍神州。曾被看做“丑小鸭”的陈景润因为其无比刻苦的形象，很快就成为亿万中国人的偶像。哥德巴赫猜想作为一个纯数学猜想，即刻成为中国老百姓的一个“情结”。应该说，这是中国的一个空前纪录（恐怕也是绝后的），因为以往按照中国传统，能得到赞扬的无非都是帝王将相的“文治武功”，或是老百姓的“忠君”、“孝悌”，而陈景润的出现（还有孙中山、鲁迅和雷锋等）确实代表了一种全新的“元素”，在中华大地上堪称史无前例。陈景润本人于1996年过早去世，哥德巴赫猜想还未最终攻克。他的离席不禁使我想起杜甫的名句——“出师未捷身先死，长使英雄泪满襟”。

在世科学家中有那么多成就卓著的诺贝尔奖获得者，他们为什么很快就被人忽视了呢？答案很简单，生活太平淡，没有可供炒作的素材。在世的霍金和纳什就不同了，一个生理残疾，一个心理残疾。于是，《时间简史》就最畅销了，尽管其他许多科普书同样优秀，唯有霍金的书最好卖，连那本艰深的《时空本性》也卖得很好，读者们实在太“吃”霍金的个人魅力了。而《美丽心灵》则被拍成电影，获得了奥斯卡奖，原著当然也颇受欢迎。陈景润的情形不太一样，他的出名是因为文革结束后人们对科学春天的渴望。

现在的一些做法确实是过于极端和夸张了。现代人在紧张忙碌的工作之余，沉溺于媒体制造的“快餐文化”之中，信息是灵通的，但了解未必全面透彻。几年前，BBC广播电台让英国公众选出“最近1000年来10个最伟大的思想家”，结果霍金也名列其中，与马克思、爱因斯坦、牛顿和达尔文等并列，且得票居中，比尼采还高。如果说这不算英国公众无知的典型事件的话，那么在最近的一次民意调查中，“戴妃的车祸”竟被选为20世纪最有震撼力的事件，连两次世界大战、阿波罗登月、核武器与因特网的发明都排到老后头，是不是有点不可原谅了呢？

尽管东西方学校教育大相径庭（比如我们称赞他们的个性化教育，他们称赞我们基础扎实），但对学校教育的排斥、文化的浅薄、追求享乐，是当今全世界年轻人的普遍现象。20世纪60年代欧美学生的带有反智色彩的嬉皮士运动是为了政治和思想的需要；而今天的新蒙昧主义，则完全是经济和文化原因造成的。正如世界著名数学家阿诺德(V.I.Arnold)在一篇纪念他伟大的导师柯尔莫戈罗夫(A.N.Kolmogorov)的文章中说的：

        美国的同事对我解释说，他们国家中公共文化与学校教育的低水准是为了经济目的而有意形成的结果。问题在于，读了许多年书之后，受教育的人就成为最坏的顾客，他较少买洗衣机和汽车，与其要这些，他宁愿要莫扎特或梵高、莎士比亚或各种定理，消费社会的经济因此蒙受损失，首当其冲的是老板们的生活收入——所以他们追求的是不容许人们有文化修养和受良好的教育（否则将妨碍他们操纵人们犹如对待无知牲畜）。

在2002年巴黎一所大学的面试中，阿诺德考问了几个所谓最好的教授候选人，发现他们惊人地无知。作为“精英中的精英”，阿诺德自然因当权者大幅降低教育水准而极为不满（柯尔莫戈罗夫作为教育家也遭受过类似打击郁郁而终）。那些俄国教改者正是以美国为例子，说明教改是为了发展经济的需要而必须做出的选择。这股热潮近十年来席卷全球，在中国就是新读书无用论和草根文化的抬头。

阿诺德至少是沃尔夫奖获得者，为学术价值的糟蹋还能愤愤不平地说上几句话，然大势已定，他也激不起多少波澜。一方面，教育的要求越来越高；另一方面，消费社会又基本上不需要这些知识，所以在今天，被人叫好的“明星科学家”横空出世，与两者之间的矛盾有密切联系。

向往精英文化的人群
精神文化的承担着，除了国家领导层、文人和宗教团体，还有歌星、体育明星及某些著名主持人，前者对成年人影响比较大，后者主要针对青年人。这是世界各国的普遍现象。而大量高校毕业生进入公司，当上了令人羡慕的白领，他们有很高的薪水，但主要从事物质建设，对精神文化的构建已失去了机会。

二战以后，世界完全进入了现代化。现代化一来，精神文化人的地位急剧下降，以至出现了福柯(M.Foucault)哀叹的“最后的知识分子”现象。爱因斯坦很幸运，因为他的伟大贡献都是在一战前或一战期间做出的。事实上，他与达尔文、弗洛伊德一样，其工作至少在相当长的一段历史时期内并非主流，广义相对论甚至在今天都不是物理学最主流的分支（试与牛顿的工作相比），但为什么有这么大的名气呢？这是因为从伽利略到爱因斯坦这段历史时期，科学一直是构建精神文化的一支不可或缺的力量。

然而在今天，这支力量已从整体上消失。似乎就像“热寂”一样，最多就是些炒作一时的稍稍偏离均衡的“涨落”而已。比如陈景润，他的工作是一般人无法理解的，但为什么有那么多人关注呢？从某种意义上讲是因为“文化大革命”结束后科学春天的到来。如果陈景润的工作在今天的话，影响无疑会大打折扣。怀尔斯(A.Wiles)在1994年证明了费马大定理，应该说贡献极大，但为时已晚！后现代社会中人们对此兴趣不高，所以其影响力比较有限。

近年来，中国数学界的头面人物一直为数学人才的培养而感到忧虑（与阿诺德的感觉类似），但可能忽略了另一群人的培育（当然这是全社会的任务，不是数学家的单独使命）。而渴望走进科学殿堂而不得入者，更是寂寞之极，甚至生存都有困难。高不攀低不就的下场，就是被主流社会逐渐边缘化。最终未被边缘化的，是极少数精英在那里扯着嗓子呼吁，还有一大批认定“戴妃车祸是20世纪最震撼事件”的草根族。

是啊，对精英和精英文化的向往到底为了什么？从对策论的角度看，这不是利益最大化的选择。花了力气看懂那些东西，却不能成为朋友、同事或亲密异性之间的谈资；衣着不得体、生活不时尚倒是要被讥讽为傻瓜。似乎渴望了解精英文化的人的下场，还远不如选择吃喝玩乐。知识越多越寂寞，精英和精英的追随者，无论如何都有点“殉道”色彩——后者甚至有过之而无不及。这就是目前的状况，是学校教育和生存竞争之间的矛盾产生的，或者说是理想主义遭遇现实后的窘境。其实，没有这一人群为精英喝彩，精英都会变成“孤家寡人”，而他们造成的声势，最终只能和考试制度一样，产生“虚假的繁荣”。

毋庸说，没有科学和数学，人类无法搞工程、武器、金融、通讯……但对于一个普通公民，科学和数学的真正价值又是什么？我们为什么要对普通公众进行科学普及呢？我想起以前冯友兰先生曾经对哲学普及做过一个回答：提高人的境界；对于科学与数学普及的作用，我的类似想法是，让人们走出自我、超越自我，也就是知道“天高地厚”。

公众对科学认识的巨大误区在于：他们只承认科学可以转化为技术和生产力的功能，忽略了科学本身之理论构建的重大意义，更没有想过科学是怎样影响人类社会与文化的。而许多科学家对科学认识也有误区：他们既明白科学转化为技术的力量，也充分认识到科学理论构建的重大意义，就是忽略了科学对社会和文化的影响。陈景润的一炮打响，霍金畅销书的出现，对后两者的认识起到了推波助澜的作用。但比之西方，我们远远不够。

笔者不相信只有猎奇故事或小道消息才能吸引大家的眼球，其实正儿八经的科学理论要精彩得多，指望这些东西能激起所有人的兴趣是不可能的，但应该争取到一个群体。除去那种原初的狂热，待到冷静和理性了，也许我们重新呼唤科学，才更具意义。