数据结构——稀疏矩阵的压缩存储

1.矩阵的压缩存储

        对于一些阶树很高的矩阵，如果有许多值相同的元素或者是零元素，可以对其进行压缩以节省存储空间。可以为多个值相同的元只分配一个存储空间；对零元不分配空间。

2.稀疏矩阵

       什么是稀疏矩阵？

       在一个m*n的矩阵中，有t个元素不为0，t/（m*n）称为稀疏因子，通常认为稀疏因子小于0.05时称为稀疏矩阵。

3.稀疏矩阵的压缩存储

       1）三元组顺序表

#define MAXSIZE 12500 //非零元个数的最大值  typedef struct{  int i,j; //非零元的行下标和列下标  ElemType e;}Triple;typedef struct{  Triple data[MAXSIZE+1]; //非零元三元数组表，data[0]未用  int mu,nu,tu; //矩阵的行数、列数和非零元个数}TSMatrix;        

        2）三元组顺序表存储稀疏矩阵的转置

算法1：

Status TransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T){    T.mu=M.mu;  T.nu=M.nu;  T.tu=M.tu;    if(T.tu){      q=1;      for(col=1;col<=M.nu;++col)//依次遍历原先矩阵M的每一列的非零元            for(p=1;p<=M.tu;++p)               if(M.data[p].j==col){                    T.data[q].i=M.data[p].j;  T.data[q].j=M.data[p].i;                    T.data[q].e=M.data[p].e;  ++q;}    }    return OK;}

        可以看出其时间复杂度为O(nu*tu)，而一般转置的时间复杂度为O(mu*nu)，可以看出仅仅适合tu《mu*nu时。

        如果可以预先确定矩阵M中每一列（即T的每一行）的第一个非零元在其三元数组中的位置，那么对其转置时便可直接放到相应的三元数组的恰当位置上。这样就不用遍历M的每一列了。

        因此需要引入两个辅助向量； num[col]  M中第col列中非零元的个数

                                                             copt[col]   M中第col列中第一个非零元的位置

        显然

        copt[1]=1;

        copt[col]=copt[col-1]+num[col-1]    2 ≤col≤M.nu

算法2：快速转置

Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T){    T.mu=M.mu;  T.nu=M.nu;  T.tu=M.tu;    if(T.tu){    for(col=1;col<=M.nu;++col)  num[col]=0;    for(t=1;col<=M.tu;++t) ++num[M.data[t].j;    copt[1]=1;    for(col=2;col<=M.nu;++col)  copt[col]=copt[col-1]+num[col-1];    for(p=1;p<=M.tu;++p){      col=M.data[p].j;  q=copt[col];                T.data[q].i=M.data[p].j;  T.data[q].j=M.data[p].i;      T.data[q].e=M.data[p].e;  ++q;}    }    return OK;}

        其时间复杂度为O（nu+tu），当tu和mu*nu等数量级时，其时间复杂度和经典算法的时间复杂度相同。

        3）行逻辑链接的顺序表

        三元组顺序表的特点是在表中按行序有序的存储，若需按行号存取某一行的非零元，则需要从头开始找。为了便于随即存取任意一行的非零元，则需知道每一行的第一个非零元在三元组的位置。为次可讲上述中指示行信息的辅助数组copt固定在稀疏矩阵的存储结构中。这种带有行连接信息的三元组表称为行逻辑链接的顺序表。

typedef struct｛   Triple data[MAXSIZE+1]; //非零元三元数组表   int rpos[MAXRC+1];      //各行第一个非零元的位置表    int mu,nu,tu;           //矩阵的行数、列数和非零元个数}RLSMatrix;

        4）矩阵相乘

        5）十字链表