量子随机游走

随机行走的历史可以追溯到1828年植物学家Robert Brown发现液体中微粒的无规则运动开始。在1905年，爱因斯坦从理论上解释了这种随机运动（布朗运动），并首次引入了随机行走的物理过程。从那时开始，随机行走逐步取得了很多重大进展。现在随机行走不仅仅是自然科学里的一个基础工具，也是研究数学和计算机的重要手段。很多地方都可以找到它在诸如气体分子扩散，液体中悬浮物的布朗运动，量子力学中薛定谔方程的求解，高分子长链的特性研究，求解偏微分方程和数学积分的近似计算等中的成功运用。在计算机科学里的用处也很多。[2]给出了一种自然纹理的图象生成方法——过程生成方法，采用应用随机过程中的马可夫序列理论，解决了计算机动画和机器人学中路线规划的静态故障避免问题，生成了行走路线，并由此形成了室内地面纹理及磨蚀过程动画。这种方法具有高度的真实感，善于表现纹理的连续性和演变趋势。    一个人A从一条路上的某点出发（其坐标为x=0,x坐标向右为正，向左为负），假定A的步长为1，他每走一步的取向是随机的，与前一步的方向无关。如果A在每个时间间隔内向右行走一步的几率是p，则向左走一步的几率为q=1-p。    前面所述的随机行走是在一维无穷长链上的行走，可以把它推广到二维，三维或者圆上。这种类型的随机行走或链（chain）具有如下特征：它在行走中任一阶段的行为都不被先前行走的历史所限制，即区域内的点可以被多次访问，这种随机行走过程叫做马尔科夫(Markov)过程。又因为行走最终会终止在边界上，故而上述的这类行走也称为马尔科夫链。马尔科夫链正是这样生成各相继状态的，它使得后一个状态在前一个状态的附近。由此可以知道相继各状态之间的确存在着关联。尽管经典的随机行走有着广泛的运用，但与量子随机行走相比，量子随机行走具有许多经典行走不具有的性质。所以我们把目光放在了量子随机行走上。量子随机游走    直接和经典的随机游走相对比，有人可能认为可以这样去定义线上的量子随机游走：假设粒子每步都以相同的几率幅向左或者向右走（允许相差一个相位因子），但是这样的一个行走在物理上是不可能实现的，因为全局变换是不可能幺正的。而且我们很容易验证唯一可能的保持在全局过程中不变的幺正变换只能是在相邻格点之间的向左或者向右的移动算子。    如果行走的粒子还有额外的自由度来辅助确定它的移动，那么可以建立一个适应全局的定域幺正过程。考虑一个量子粒子在一根线上的自由移动，而且有一个额外的自由度---手征（chiralty）,取值Right或者Left，于是我们可以定义线上的行走：每一步---手征经过幺正变换到一个新的手征，然后根据新的手征来确定它怎么走！我们把这种行走叫做Hadamard行走。    虽然Hadamard行走和经典的随机游走看起来很类似，但是他们的行为却有很显著的不同。原因在于量子干涉的存在，在量子Hadamard行走中从两个分立的路径到一点可能会由于量子态相位相反而干涉相消，而在经典情况下不会出现这种结果结果纵览在经典情况下，众所周知，双向无穷长线上的随机游走在时间t（即t步）后距离起点的距离期望值为Θ(t),而距离起点为Ω(t)的几率很小（随t以指数衰减），而恰恰相反，对于量子粒子在线上的HW(Hadamard Walk),的观测表明在t步后，粒子位置距离起点期望值为Θ(t),而且粒子的位置几乎是均匀分布在区域 内，于是我们可以想象量子行走的扩散速度比经典的要快平方量级。