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二分图最佳完备匹配KM算法

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点X_i的顶标为A[i]，顶点Y_i的顶标为B[i]，顶点X_i与Y_j之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点X_i关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

• 两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
• 两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
• X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
• X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|X_i在交错树中，Y_i不在交错树中}。

　　以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n⁴)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n²)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n³) 的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的slack值都减去d。

【最优匹配】

与最优完备匹配很相似，但不必以完备匹配为前提。

只要对KM算法作一些修改就可以了：

将原图转换成完全二分图（m=|x||y|），添加原图中不存在的边，并且设该边的权值为0。

 

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<math.h>#include<cstring>#include<algorithm>#define inf 100000000using namespace std;int hc,home[105][2],mc,man[105][2];int map[105][105];int lx[105],ly[105],mat[105],sla[105];bool vx[105],vy[105];bool dfs(int u){int i;vx[u]=1;for(i=0;i<hc;i++){if(lx[u]+ly[i]>map[u][i])sla[i]=min(sla[i],lx[u]+ly[i]-map[u][i]);else if(!vy[i]){vy[i]=1;if(mat[i]==-1 || dfs(mat[i])){mat[i]=u;return 1;}}}return 0;}int main(){int r,c,i,j;char str[150];while(scanf("%d %d",&r,&c) && !(r==0 && c==0)){hc=mc=0;for(i=0;i<r;i++){scanf("%s",str);for(j=0;j<c;j++){if(str[j]=='H'){home[hc][0]=i,home[hc++][1]=j;}if(str[j]=='m'){man[mc][0]=i,man[mc++][1]=j;}}}for(i=0;i<mc;i++)for(j=0;j<hc;j++){map[i][j]=-abs(man[i][0]-home[j][0])-abs(man[i][1]-home[j][1]);}memset(lx,0,sizeof(lx));memset(ly,0,sizeof(ly));for(i=0;i<mc;i++)for(j=0;j<hc;j++){lx[i]=max(lx[i],map[i][j]);}memset(mat,-1,sizeof(mat));for(i=0;i<mc;i++){//这个循环保证求出的是完备匹配                             while(1){memset(vx,0,sizeof(vx));memset(vy,0,sizeof(vy));for(j=0;j<hc;j++)sla[j]=inf;if(dfs(i))break;int d=inf;for(j=0;j<hc;j++)if(!vy[j])d=min(d,sla[j]);for(j=0;j<mc;j++)if(vx[j])lx[j]-=d;for(j=0;j<hc;j++)if(vy[j])ly[j]+=d;}}int res=0;for(i=0;i<hc;i++)res+=map[mat[i]][i];printf("%d\n",-res);}    return 0;}