卷积

来源：互联网发布：淘宝在哪里评分编辑：程序博客网时间：2024/04/28 18:54

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卷积是分析数学中一种重要的运算。设: $f(x)$ , $g(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的两个可积函数，作积分：

$\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(x - \tau)\, \mathrm{d}\tau$

可以证明，关于几乎所有的 $x \in (-\infty,\infty)$ ，上述积分是存在的。这样，随着 $x$ 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数 $h(x)$ ，称为函数 $f$ 与 $g$ 的卷积，记为 $h(x)=(f*g)(x)$ 。容易验证， $(f * g)(x) = (g * f)(x)$ ，并且 $(f * g)(x)$ 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法， $L^1(R^1)$ 空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数 $f*g$ 一般要比 $f$ 和 $g$ 都光滑。特别当 $g$ 为具有紧支集的光滑函数， $f$ 为局部可积时，它们的卷积 $f * g$ 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 $f$ ，都可以简单地构造出一列逼近于 $f$ 的光滑函数列 $f_s$ ，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

[编辑]定义

函数f 与g 的卷积记作 $f \star g$ ，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。

$(f \star g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$

积分区间取决于f 与g 的定义域。

对于定义在离散域的函数，卷积定义为

$(f \star g)[m] = \sum_n {f[n] g[m - n]}$

[编辑]快速卷积算法

当 $f[n]\,$ 是有限长度 $N$ ，需要约 $N^2$ 次运算。借由一些快速算法可以降到 $O(N \ln N)$ 复杂度。

最常见的快速卷积算法是借由圆周卷积利用快速傅里叶变换。也可借由其它不包含 FFT 的做法，如数论转换。

[编辑]多元函数卷积

按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：

$(f \star g )(t_1,t_2,\cdots,t_n) = \int\int\cdots\int f(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n) g(t_1 - \tau_1,t_2 - \tau_2,\cdots,t_n - \tau_n,)\, d\tau_1 d\tau_2 \cdots d\tau_n$

[编辑]性质

各种卷积算子都满足下列性质：

交换律: $f \star g = g \star f \,$

结合律: $f \star (g \star h) = (f \star g) \star h \,$

分配律: $f \star (g + h) = (f \star g) + (f \star h) \,$

数乘结合律: $a (f \star g) = (a f) \star g = f \star (a g) \,$

其中 $a$ 为任意实数（或复数）。

微分定理: $\mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \,$

其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：

前向差分： $\mathcal{D}^+f(n) = f(n+1) - f(n)$
后向差分： $\mathcal{D}^-f(n) = f(n) - f(n-1)$

[编辑]卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

$\mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

其中 $\mathcal{F}(f)$ 表示f 的傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为 $n$ 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做 $2n-1$ 组对位乘法，其计算复杂度为 $\mathcal{O}(n^2)$ ；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

[编辑]在群上的卷积

若 G 是有某 m 测度的群（例如豪斯多夫空间上哈尔测度下局部紧致的拓扑群），对于G 上 m-勒贝格可积的实数或复数函数f 和g，可定义它们的卷积：

$(f \star g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y) \,$

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的彼得-外尔定理。