红黑树

一：性质

红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉搜索树，颜色或红色或黑色。在二叉搜索树强制一般要求以外，对于任何有效的红黑树我们增加了如下的额外要求:

性质1. 节点是红色或黑色。

性质2. 根是黑色。

性质3. 所有叶子都是黑色（包括NIL）。

性质4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不超过最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例，这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的，而不同于普通的二叉搜索树。

要知道为什么这些特性确保了这个结果，注意到性质4导致了路径不能有两个毗连的红色节点就足够了。最短的可能路径都是黑色节点，最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色节点，这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

在很多树数据结构的表示中，一个节点有可能只有一个子节点，而叶子节点包含数据。用这种范例表示红黑树是可能的，但是这会改变一些属性并使算法复杂。为此，本文中我们使用 "nil 叶子" 或"空(null)叶子"，如上图所示，它不包含数据而只充当树在此结束的指示。这些节点在绘图中经常被省略，导致了这些树好象同上述原则相矛盾，而实际上不是这样。与此有关的结论是所有节点都有两个子节点，尽管其中的一个或两个可能是空叶子。

二：准备

1.树的旋转

        a)左旋

 

 

       b)右旋

 

 

对于树的旋转，能保持不变的只有原树的搜索性质，而原树的红黑性质则不能保持，在红黑树的数据插入和删除后可利用旋转和颜色重涂来恢复树的红黑性质。对于有些材料中有对双旋的描述，其实双旋只是单旋的两次应用，并无新的内容，因此这里就不再介绍了，而且左右旋也是相互对称的，只要理解其中一种旋转就可以了。

2.前趋和后继

    由于在搜索树中总是可能操作到它的中序前趋和后继，因些在树中找到它的前趋和后继也是比较重要的。

    在二叉搜索树中，一个节点的前趋只能出现在两个地方

1）节点左子树的最右节点，如果节点左子树为则为情况2

2）节点左子树为空，节点前趋只能是它的双亲节点中第一个为右双亲的节点，下面为此种情况的一个示例,B为F中序遍历的前趋。

 直接后继的情况与此对称，不再介绍。

三、树的修改操作

1. 插入操作

    我们总是插入红色的节点，因为这样就可以在插入过程中尽量避免产生对树的调整，我们新插入一个节点后可能使原树的哪些性质改变呢。由于我们是按二叉树的方式插入，因此原树的搜索性质不会改变。如果插入的节点是根节点，性质2会被破坏，如果插入的节点的父节点是红色，则会破坏性质4，因此总的来说，插入一个红色节点只会破坏到性质2或是性质4，我们的恢复树性质的策略很简单，其一就是保持一定的性质不变，之后把出现违背红黑树性质地方向上移，如果能移到根节点，那么很容易就可以通过直接修改根节点来恢复红黑树应满足的性质。其二就是穷举所有的可能性，之后把能归于同一类方法处理的归为同一类，不能直接处理的化归到其它可以直接处理的情况，能直接处理的就直接处理。

下面看看一共有几种情况，

情况1：插入的是根节点（原树是空树）

此情况只会违反性质2。

解法：直接把此节点涂为黑色

情况2：插入的节点的的父节点是黑色

此时不会违反性质2也不会违反性质4，红黑树没有被破坏。

解法：什么都不做

情况3：当前节点的父节点是红色且祖父节点的另一个子节点（叔叔节点）是红色（此时父节点的父节点一定存在，否则插入前就已不是红黑树，此时又分为父节点是祖父节点的左子或者右子，对于对称性，只要解开一个方向就可以了，我们只考虑父节点为祖父左子的情况）。此时还可分为当前节点是其父节点的左子还是右子，但是这两种情况的处理方式是一样的，我们将其归为同一类。

解法：将当前节点的父节点和叔叔节点涂黑，祖父结点涂红，把当前结点指向祖父节点，从新的当前节点重新开始算法。

下面是算法导论一书中的图，稍做修改(N代表当前节点，P代表父节点，G代表祖父节点，U代表叔叔节点，以下各图如果相同字母则代表同一意思，不再详述)。

变换前

变换后

情况4：当前节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色，当前节点是其父节点的右子

解法：当前节点的父节点做为新的当前节点，以新当前节点为支点左旋。

如下图所示

变换前

 

 

变换后

情况5：当前节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色，当前节点是其父节点的左子

解法：父节点变为黑色，祖父节点变为红色，在祖父节点为支点右旋

如下图所示

变换前

变换后

在上面的插入算法中，所有递归都是尾递归，可以改写为循环，其中以当前节点的父节点是否为红色是十分方便的。

2.删除操作

为了从红黑树中删除一个结点，我们将从一颗标准二叉搜索树的删除操作开始，我们回顾一下标准二叉搜索树的删除操作的三种情况： 

1. 要删除的结点没有子结点。在这种情况下，我们直接将它删除就可以了。如果这个结点是根结点，那么这颗树将成为空树；否则，将它的父结点中相应的子结点指针赋值为NULL。 
2. 要删除的结点有一个子结点。与上面一样，直接将它删除。如果它是根结点，那么它的子结点变为根结点；否则，将它的父结点中相应的子结点指针赋值为被删除结点的子结点的指针。 
3. 要删除的结点有两个子结点。在这种情况下，我们先找到这个结点的后继结点（successor），也就是它的右子树中最小的那个结点。然后我们将这两个结点中的数据元素互换，之后删除这个后继结点。由于这个后继结点不可能有左子结点，因此删除该后继结点的操作必然会落入上面两种情况之一。 

注意，在树中被删除的结点并不一定是那个最初包含要删除的数据项的那个结点。但出于重建红黑树性质的目的，我们只关心最终被删除的那个结点。我们称这个结点为v，并称它的父结点为p(v)。 

v的子结点中至少有一个为叶结点。如果v有一个非叶子结点，那么v在这颗树中的位置将被这个子结点取代；否则，它的位置将被一个叶结点取代。我们用u来表示二叉搜索树删除操作后在树中取代了v的位置的那个结点。如果u是叶结点，那么我们可以确定它是黑色的。 

如果v是红色的，那么删除操作就完成了－－－因为这种删除不会破坏红黑树的任何性质。所以，我们下面假定v是黑色的。删除了v之后，从根结点到v的所有子孙叶结点的路径将会比树中其它的从根结点到叶结点的路径拥有更少的黑色结点，这会破坏红黑树的性质5。另外，如果p(v)与u都是红色的，那么性质4也会遭到破坏。但实际上我们解决性质5遭到破坏的方案在不用作任何额外工作的情况下就可以同时解决性质4遭到破坏的问题，所以从现在开始我们将集中精力考虑性质5的问题。 

让我们在头脑中给u打上一个黑色记号（black token）。这个记号表示从根结点到这个带记号结点的所有子孙叶结点的路径上都缺少一个黑色结点（在一开始，这是由于v被删除了）。我们会将这个记号一直朝树的顶部移动直到性质5重新恢复。在下面的图解中用一个黑色的方块表示这个记号。如果带有这个记号的结点是黑色的，那么我们称之为双黑色结点（doubly black node）。 

注意这个记号只是一个概念上的东西，在树的数据结构中并不存在物理实现。 

我们要区分几种不同的情况。 
1）如果带记号的结点是红色的或者它是树的根结点（或两者皆是），只要将它染为黑色就可以完成删除操作。注意，这样就会恢复红黑树的性质4（不能存在两个相邻的红色结点）。而且，性质5也会被恢复，因为这个记号表示从根结点到该结点的所有子孙叶结点的路径需要增加一个黑色结点以便使这些路径与其它的根结点到叶结点路径所包含的黑色结点数量相同。通过将这个红色结点改变为黑色，我们就在这些缺少一个黑色结点的路径上添加了一个黑色结点。 

如果带记号的结点是根结点并且为黑色，那么直接将这个标记丢掉就可以了。在这种情况下，树中每条从根结点到叶结点的路径的黑色结点数量都比删除操作前少了一个，并且依旧保持住了性质5。 

在余下的情况里，我们可以假设这个带记号的结点是黑色的，并且不是根结点。 

2）有下面几种情况

2）.1 红兄

由于兄弟结点为红色，所以父结点必定为黑色，而旧点被删除后，新点取代了它的位置。下图演示了两种可能的情况：

 

 

 

红兄的情况需要进行RR或LL型旋转，然后将父结点染成红色，兄结点染成黑色。然后重新以新点为判定点进行平衡操作。我们可以观察到，旋转操作完成后，判定点没有向上回溯，而是降低了一层，此时变成了黑兄的情况。

2）.2 黑兄

黑兄的情况最为复杂，需要根据黑兄孩子结点（这里用“侄”表示）和父亲结点的颜色来决定做什么样的操作。

2）.2.1 黑兄二黑侄红父

如图14所示，这种情况比较简单，只需将父结点变为黑色，兄结点变为黑色，新结点变为黑色即可，删除操作到此结束。

 

 

 

2）.2.2 黑兄二黑侄黑父

如图15所示，此时将父结点染成新结点的颜色，新结点染成黑色，兄结点染成红色即可。当新结点为红色时，父结点被染成红色，此时需要以父结点为判定点继续向上进行平衡操作。

 

 

 

2）.2.3 黑兄红侄

黑兄红侄有以下四种情形，下面分别进行图示：

情形1：

 

 

情形2：

 

情形3：

 

情形4：

 

 

 

由以上图例所示，看完以上四张图的兄弟有可能会有一个疑问，如果情形1和情形2中的两个侄子结点都为红色时，是该进行LL旋转还是进行LR旋转呢？答案是进行LL旋转。情形3和情形4则是优先进行RR旋转的判定。