吴文虎图论学习日志——第二章

来源：互联网发布：sql server设置外键编辑：程序博客网时间：2024/06/11 00:20

最短路径的算法及其应用：

算法有很多，包括上面没有讲到的和讲到的：

SSSP（单源最短路径）：1.标号法 2.Dijkstra(可以用heap优化) 3.Bellman_ford(可以检测负环) 4.SPFA(可以检测负环,还可以继续优化，不过还没学)

所有点对的最短路径：1.可以求N次SSSP 2.Floyd算法

该章提到的应用问题：

1. 求图的中心点：

中心点定义：找出一个顶点，使得其到所有其他的顶点的最短路径的最大值最小。

求法：求出所有顶点对的最短路径，求出每个顶点到其他所有顶点的最短路径的最大值，从中选出最小的那个，用Floyd算法求解，时间复杂度为O(N^3).

代码：

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;const int inf = 0xffffff;const int MAXN = 110;#define MIN(a,b) (a)>(b)?(b):(a)int g[MAXN][MAXN],d[MAXN][MAXN];void init(){     memset(g,0,sizeof(g));} void Floyd(int n){     for(int i=0;i<n;i++)     {         for(int j=0;j<n;j++)         {             if(g[i][j])d[i][j]=g[i][j];             else d[i][j]=inf;             if(i==j)d[i][j]=0;         }     }     for(int i=0;i<n;i++)     {         for(int j=0;j<n;j++)         {             for(int k=0;k<n;k++)             {                  d[i][k] = MIN(d[i][k],d[i][j]+d[j][k]);             }                 }     }}int CenterPoint(int n){    int best=inf+1,best_i;    for(int i=0;i<n;i++)    {        int max = -1;         for(int j=0;j<n;j++)        {            if(d[i][j]>max)            {                max = d[i][j];            }        }        if(max<best)        {            best = max;            best_i = i;        }    }    return best_i;}int main(){    int n;    init();    cin>>n;    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=0;j<n;j++)        {            cin>>g[i][j];        }    }    Floyd(n);    int point = CenterPoint(n);    cout<<point<<endl;    system("pause");    return 0;}

2.求图的P中心点：

P中心点的定义：记图的顶点集V的一个含有P个元素的子集为S，使得集合V-S中的顶点到S中顶点的最短路径的最大值最小的集合S，就是图的P中心点。

求法：求出所有顶点对的最短路径，枚举S的每一种情况，记录下集合V-S中的顶点到S中顶点的最短路径的最大值，然后从所有的情况中选出最小的种顶点的组合方式，就是图的P中心点。

注意：需要枚举排列，复杂度很高，目前还没有有效算法。

代码略。

3.求图的中央点：

中央点的定义：记顶点V到其他各顶点的最短距离为d(x)，每前进单位距离需要的代价为k，使得所有的 k*d(x)的和最小的顶点就是图的中央点。

求法：求出所有顶点对的最短路径，求出每个顶点到其他所有顶点的（最短路径*代价）的和，选出使得该和最小的顶点，就是图的中央点。用Floyd算法，时间复杂度为O(N^3).

代码（把前面代码的CenterPoint换成该函数即可，这里K取1）

int ZhongYangPoint(int n){    int best = inf,best_i;    for(int i=0;i<n;i++)    {        int sum = 0;         for(int j=0;j<n;j++)        {            sum+=d[i][j];        }        if(sum<best)        {            best = sum;            best_i = i;        }    }    return best_i;}