【动态规划】玩具装箱

DescriptionP教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.Input第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7Output输出最小费用Sample Input5 434214Sample Output1

设s数组为前缀和，令g[i] = i + s[i]。

朴素的方程：f[i] = max{f[j] + sqr(g[i] - g[j] - l - len)}。
设j为当前最优决策，k为j右边一点，通过化简，可以得到斜率不等式：
 f[j] - f[k]
——————- + g[j] + g[k] + 2len + 2 >= 2g[i]
 g[j] - g[k]
令不等式的左边为H(j, k)。

只需要用双端队列维护一个H值不断上升（下凸函数）的决策序列即可。
Accode：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <string>#include <cstdlib>#include <algorithm>const char fi[] = "toy.in";const char fo[] = "toy.out";const int maxN = 50010;const int MAX = 0x3f3f3f3f;const int MIN = ~MAX;typedef long long int64;int64 F[maxN], g[maxN], s[maxN], len;int q[maxN], n, f, r;void init_file(){    freopen(fi, "r", stdin);    freopen(fo, "w", stdout);    return;}inline int getint(){    int res = 0; char tmp;    while (!(isdigit(tmp = getchar())));    do res = (res << 3) + (res << 1) + tmp - '0';    while ((isdigit(tmp = getchar())));    return res;}void readdata(){    n = getint(); len = getint();    for (int i = 1; i < n + 1; ++i)    {        (s[i] = getint()) += s[i - 1];        g[i] = i + s[i];    }    return;}#define sqr(x) ((x) * (x))#define check(j, k, i) \(F[j] - F[k] + (g[j] + g[k] + \(len << 1) + 2) * (g[j] - g[k]) \<= (g[i] * (g[j] - g[k]) << 1))#define cmp(j, k, i) \((F[j] - F[k] + (g[j] + g[k] + \(len << 1) + 2) * (g[j] - g[k])) \* (g[k] - g[i]) \<= (F[k] - F[i] + (g[k] + g[i] + \(len << 1) + 2) * (g[k] - g[i])) \* (g[j] - g[k]))void work(){    f = 0, r = 1; //    for (int i = 1; i < n + 1; ++i)    {        while (f < r - 1 && !check(q[f], q[f + 1], i)) ++f;        F[i] = F[q[f]] + sqr(g[i] - g[q[f]] - 1 - len);        while (f < r - 1 && !cmp(q[r - 2], q[r - 1], i)) --r;        q[r++] = i;    }    printf("%I64d\n", F[n]);    return;}int main(){    init_file();    readdata();    work();    return 0;}#undef sqr#undef check#undef cmp