0/1背包问题

问题：输入两个整数n 和m，从数列1, 2, 3, ... , n 中随意取几个数，使其和等于m，要求将其中所有的可能组合列出来。

1. 双指针思路

    我在网上google一下，关于这个问题的解法和程序很多，基本都是参考0/1背包问题的思路。由于我并不熟悉背包问题，因此刚看到这个问题的时候并没有想到可以借鉴背包问题的思路，而是马上想到了不久前看到过的双指针的思路。

    解题的主要思想是：在原数列中找到两个数a、b的组合，使a + b = m。接下来，把a拆分为两个数x、y的和，即x + y = a，则x + y + b = m是满足条件的一个组合。再接下来，把x拆分为两个数i、j的和，即i + j = x，则i + j + y + b = m也是满足要求的一个组合 ，按着这种思路一直拆分下去直到不能拆为止。对于b，同理也可以按照处理a的方法拆分，直到不能拆为止。这样全部拆分完以后，就得到了所有源自于组合a、b的和等于m的组合。然后，在原数列中找下一组两个数c、d的组合，使c + d = m。同样按照前面的思路递归的拆分c和d，直到不能再拆分为止。只要把原数列中两个数的和等于m的所有组合全部拆分完毕，也就得到了数列中和为m的所有可能组合。

    双指针实现思路为：设l(ow)，u(p)为两个指针（在此问题中l和u其实是整型索引值），分别指向数列的第1个和最后1个元素，l只能往右移动，u只能往左移动。然后把则l + u和m的关系有以下三种情况：

    1）l + u > m  由于数列是递增的，若要使l + u有可能等于m必须减少u所指的值，u至少往前移一个位置，即u--；

    2）l + u < m  同理，若要使l + u有可能等于m必须增加l所指的值，l至少往后移一个位置，即l++；

    3）l + u = m  说明找到两个数的和等于m，输出l和u所指的值。

         (3.1) 拆分l  只能把l拆分为两个小于l的数的和，此时子数列为[1, 2, ... , l-1]，令l = 1, u = l -1, m = m - u，按照1)、2)、3)的步骤递归拆分下去，直到不能拆为止；

         (3.2) 拆分u 同理，子数列应为[l+1, ... , u -1]，令l = l + 1, u = u -1, m = m - l，按照1)、2)、3)的步骤递归拆分下去，直到不能拆为止;

         (3.3) l++, u--  在原数列[1, 2, ..., n]中递归寻找下一个两个数的和等于m的组合，然后回到步骤1)继续递归，直到找到两个数的和等于m的所有组合为止。

C/C++程序如下：

// 输入两个整数n和m,从数列1,2,3，……n中随意取几个数，使其和等于m。// 要求将所有的可能组合列出来vector<int> bag_vect;vector<int>::iterator it;void syAllGroup(int _min, int _max, int m){// 递归终止条件if (_min < 1 || m < 1 || _min >= _max)return;int l = _min, u = _max;if (u > m){// 一个数的组合printf("%d\n", m);u = m - 1;}if(l+u > m){u--;assert(l <= u);}else if (l+u < m){l++;assert(l <= u);}else// l + u == m{// 输出组合结果for(it = bag_vect.begin(); it != bag_vect.end(); ++it)printf("%d ", *it);printf("%d %d\n", l, u);// 组合中包含u,拆分l=i+j,即i+j+u=mbag_vect.push_back(u);syAllGroup(_min, l-1, l);bag_vect.pop_back();// 组合中包含l,拆分u=x+y,即l+x+y=mbag_vect.push_back(l);syAllGroup(l+1, u-1, u);bag_vect.pop_back();l++;u--;}// 递归在原数列中下一组合l,u使l+u=msyAllGroup(l, u, m);}

2. 背包问题

    google了一下有关背包问题的知识，发现背包问题包括0/1背包问题、有界背包问题、无界背包问题等好多种衍生类型。0/1背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，其他类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。

    问题描述[1]：

    有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

    基本思路：

    这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

    用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

            f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]] + w[i] }

    这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

   把上面的问题转换为：有n件物品和一个容量为m的背包，第i件物品的大小为i，求恰把背包装满的所有物品组合。转换后的问题与原问题是等价的，因而可以借鉴0/1背包问题的思路：假设问题的解为F(n, m)，可分解为两个子问题 F(n-1, m-n)和F(n-1, m)。对这两个问题递归求解，求解过程中，如果找到了恰能装满背包的物品组合，则打印出来[2]。

（1）F(n-1, m-n)表示背包中包含n，此时背包的剩余容量为m - n，则只需在[1...n-1]中找一个大小为k = m - n的物品就恰能装满背包，即k + n = m是满足要求的一个组合。然后令n = k , m = k，问题F(k, k)又可分解为两个子问题求解， 一直递归下去。

（2）F(n-1, m)表示背包中不包含n，此时背包的剩余容量仍为m，则只需在[1...n-1]中找一个大小为s = m的物品就恰能装满背包，则s = m也是满足要求的一个组合。然后令n = s, m = s，问题F(s, s)又可分解为两个子问题求解，一直递归下去。

C/C++程序如下：

// 思路参考01背包问题：定义函数F(n,m)来求解这个问题，// 那么F(n,m)可以分解为两个子问题F(n-1,m)和F(n-1,m-n).vector<int> zerone_vect;vector<int>::iterator it;void syZeroneKnapsack(int n, int m){// 递归终止条件if (n < 1 || m < 1)return;if (n > m)n = m;// 背包装满：输出结果if (n == m){zerone_vect.push_back(n);for (it = zerone_vect.begin(); it != zerone_vect.end(); ++it)printf("%d ", *it);printf("\n");zerone_vect.pop_back();}// 子问题1：f(n-1, m)--组合中不包含nsyZeroneKnapsack(n-1, m);// 子问题2：f(n-1, m-n)--组合中包含nzerone_vect.push_back(n);syZeroneKnapsack(n-1, m-n);zerone_vect.pop_back();}

参考文献：

[1] 0/1背包问题：http://love-oriented.com/pack/P01.html.

[2] 解题笔记31：http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6728657.