图形学算法——点与多边形的关系(交点数判断法)

　　基本思想：从指定点出发，向无穷远处发出一条射线，计算这条射线和多变的交点个数，若交点数为偶数（包括0），则说明在该点在多边形外；否在该点在多边形内。

　　此处，为了方便我们叙述，我们假设射线是水平向右发射的。为了计算射线与多边形所有边的交点，我们需要遍历多边形所有的边，判断是否存在交点。这样的计算量非常大，以下给出几种可以减少计算量的方法。

一、构建安全矩形

　　如图所示，构建出红色的矩形，则所有在红色矩形外的所有点都可以直接判断为不在多边形内部。具体方法是：遍历多边形所有的顶点，统计出最大最小的x、y值，这样就构建出了安全矩形四个顶点的坐标值。

二、线段的安全区域

　　如图所示，对于线段AB，L1上方，L2下方，线段AC的右侧（我们假设我们的射线是水平向右的）都是安全区域，就是做当点处于这些区域的时候，是绝不会和线段AB产生交点的，因此可以先判断是否在安全区域，如果不在，再继续计算是否有交点，如果在安全区域，则立即可以得出没有交点的结论。

三、计算交点

　　当需要判断的点既不在安全矩形又不在线段的安全区域之内时，我们不得不计算射线与直线的交点是否存在。但是，计算时会有一些特殊情况，如图所示（此处的图是向做发出射线，其实是一样的）：

　　对于P1、P2、P3该如何判断呢？一个简单的办法是，若相邻两边在射线同侧，则交点计数加2，否则加1。按照这个办法，我们就能计算出，P1和多边形有1个交点，P2有1个交点，P3有2个交点。这个方法很好解决了射线经过多边形顶点的问题，但是这样的方法用算法不太好实现，如何才能判断两条线段在射线的同一侧？解决方法是，区分线段的上顶点和下顶点。也就是说，我们可以这么定义：只有射线经过线段的上顶点时，才算是有交点；当射线经过线段的下顶点时，则看做射线和线段没有交点。这在程序中是很好判断的，方便我们计算。

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