[算法导论读书笔记]Dijkstra算法

算法思想：

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

伪代码：

代码示例：

#include <iostream>#include <fstream>using namespace std;const int MAXN = 100;const int INFINITE = 100000;int Adj[MAXN][MAXN];int N;int EXTRACT_MIN(int *d, bool *visited, int v)//从邻接点中取d最小的{int len = INFINITE;int m = -1;for( int i = 1; i <= N; i++ ){if( !visited[i] && d[i] < len){len = d[i];m = i;}}return m;}void Paint_Path(int *pre, int root){if( pre[root] == 0 ){printf("%d", root);}else{Paint_Path(pre, pre[root] );printf("-->%d", root);}}void Relax(int *d, int* pre, int u, int v, int w){if(d[v] > d[u] + w ){d[v] = d[u] + w;pre[v] = u;}}void Dijkstra( int s ){int i;int u;int *d;int *pre;bool *visited;d = new int[N];pre = new int[N];visited = new bool[N];//initializefor( int i = 1; i <= N; i++){d[i] = INFINITE;pre[i] = 0;}d[s] = 0;for( i = 1; i <= N; i++){u = EXTRACT_MIN(d, visited, N);visited[u] = true;for( int j = 1; j <= N; j++){if( !visited[j] ){Relax(d, pre, u, j, Adj[u][j]);}}}for( i = 1; i <= N; i++){Paint_Path(pre, i );printf("\n");}//delete [] d;//delete [] pre;//delete [] visited;}int main(int argc, char* argv[]){int i, j;ifstream in("data.txt");in >> N;for( i = 1; i <= N; i++){for( j = 1; j <= N; j++){in >> Adj[i][j];}}Dijkstra(1);return 0;}

测试结果：

参考资料：

http://www.wutianqi.com/?p=1890

http://net.pku.edu.cn/~course/cs101/2007/resource/Intro2Algorithm/book6/chap25.htm