把学习由复杂变简单（二叉树和树）

现在发现二叉树和树讲起来真的是没完没了，刚发表博客之后发现，那还不足以表述这颗大树。我们继续完善。

树与二叉树遍历确实很重要，但是还有一些你也许忘记的重要知识点，我们再来看一下还有什么好玩的：我不太喜欢太深奥的东西，所以我一般以我能理解的简单的方法去说说这些知识点。

树与二叉树的转换

我们都知道二叉树与树不同，因为二叉树是有讲究的，比如：二叉树第i层最多只有2的i次方个结点，所以当把树转换成二叉树的时候。我们是有窍门的，还是用图来说话，我们接下来也来看这么一张图，看看到底是怎么个转换的：

这一看就知道是树，因为不符合我们二叉树的特点，比如结点3带的叶子结点就不符合我们二叉树的要求了，所以我们要想办法去转换成二叉树。

很简单，就一句话：树的左孩子结点作为二叉树的左子树结点，兄弟结点作为二叉树的右子节点。我们看图是怎么转换的：

在这个图里边，2是根结点的左子树结点，与2并列的3、4是2的兄弟结点，故转换成二叉树时，作为2的右子节点，类似的，5是3的左子树结点，故也是二叉树里3的左结点，6、7与5并列，就作为5的右子节点，类似的，4号结点也是一样，我们看图：

我们按照这句话，就能轻而易举的画出个大概了，然后我们把黑色的线抹去就行了。抹去之后，就成这样了：

这就验证了我的那句话一点问题都没有。千万不能着急，那么事情就没有想象的那么复杂了。

查找二叉树：

我们边看图边分析：

分析查找二叉树的一些递归条件：

a.查找树的左、右子树各是一颗查找树。这个很明了，无可厚非。

b.若查找树的左子树非空，则其左子树上的各节点均小于根结点的值。如图：2和4都小于5。

c.若查找树的右子树非空，则其右子树上的各节点值均大于根节点的值。如图：6和8都大于5。

所以结合图来分析问题，一切的理论都是浮云。记是记不住的。必须要理解。

我们有了这些对查找二叉树的认识之后，后面分析起来就简单了。

查找二叉树的一些基本操作：查找、插入结点、删除结点：

查找：

比如我们要查找56，那么我们就能马上找到，因为左结点的都比根节点要小，右结点都比根结点要大。所以我们很easy的找到了。

插入结点：

插入结点就有意思了，但是还是很简单，一样的规则，左小右大。继续前行：举个例子，插入29：从上面的图，我们一眼就看的出来，29必须要跟着20了，因为56的右结点要比56要大，所以不可能，那么112的左结点呢？更不可能了，因为112的所有子结点都要比根节点89要大，所以非常easy吧。只能作为20的右子结点了。

删除结点：

要是叶子结点就直接删除，要是带一个叶子结点的就直接吧叶子结点接到待删除的父结点上，要是带两个子节点的，就用中序遍历查找最大的结点，直接删除最大结点。

哈夫曼树：

我们看图理解：

树的路径长度：树到达每一个结点都有一个路径，把所有的路径的值加起来，路径长度之和，就是树的路径长度了。

就第一棵树来说：看图：

结点8的路径长度是3；2的路径长度是2，4的路径长度：3。兄弟结点的路径长度是一样的。

和结点数是息息相关的，同样结点的树，完全二叉树的路径长度是最短的。

权：对某个结点赋予一个有意义的值，其实就是我们看到的这些值，如叶子结点的权值是：2、4、8、1。

带权路径长度：权值乘以路径长度，比如叶子结点8的带权路径长度为：8*3=24。

树的带权路径长度：所有带权路径长度的值相加。哈夫曼树是一种带权路径长度最短的。比如第二颗树：

结果为：1*8+2*4+3*3=25

左边的是：

结果是：1*1+2*2+（4+8）*3=41，同样结构，同样结点数，机器运算所要花费的时间就不同，哈夫曼树是最优的。

如何构造哈夫曼树：

比如我们有一组权值{5,29,7,8,14,23,3,11}：

我们从最小的开始，最小的作为叶子结点，至于为什么，因为权值代表遍历的次数，所以我们考虑效率的问题，把权值最小的作为叶子结点，一颗颗树来拼接起来就OK了。

第一步我们就得到了：

哈夫曼树也是二叉树，所以也是按照二叉树的规则，左小右大。

继续一个一个把这些权值添加到这两颗树上面，从小到大的“堆积”起来，最后形成的大树。看图：

 哈夫曼编码：左边为1，右边为1；把权标志了，比如23的编码是：00。11的编码是：010。看图：

就这么简单，所有结点的编码都出来了。

线索二叉树：

线索二叉树我们来讲讲怎么把二叉树装换成线索二叉树。

我们看这颗二叉树：

前序线索二叉树：

我们应该是怎么个步骤呢？我们先写出这颗二叉树的前序遍历：ABDEHCFGI,然后我们把结点的指针给填满，主要是找到叶子结点的前驱和后继。

我们从前序遍历ABDEHFCGI就能看出D结点的前驱结点是B结点，后继结点是E结点，类似的，把这些结点的空指针填满。，应该是这么个图：

中序线索二叉树，我们把中序二叉树遍历写出来：DBHEAFCGI；那么我们的中序线索二叉树就轻而易举的画出来了，看图：

后序线索二叉树，我们把后序二叉树遍历写出来：DHEBFIGCA；那么我们的后序线索二叉树就轻而易举的画出来了，看图：

线索二叉树的其他内容还有很多，用到的时候再说吧，线索二叉树与二叉树的转换，应该是大家需要的吧。

平衡二叉树：

1、或者是一颗空树；

2、或者是一颗：书中的任一结点的左、右子树的深度相差不超过1。我们分析一棵树：

我们凭感觉就知道这棵树不是平衡二叉树，一边倒，聪明：我们分析看看符合平衡二叉树的条件不：

在分析的过程中，我们把每一个结点当做是一棵树，如结点1当做空一棵树的时候，就是一颗空子树；结点5没有右子树，所以相差为1。，还有我们分析到结点39的时候，我们一看就知道它没有右子树，而左子树是3，可以把1、5、7作为左子树来判断。

所以这棵树是不符合我们的平衡二叉树的要求的。

我们来分析一颗符合要求的，看看符合要求的二叉树是什么样的：

其实我们用肉眼就能大概辨别的出来，但是要是信心不够的话，可以分析分析。

平衡树的调整：你懂了几个旋转就搞定了。看看这个旋转是什么个情况：

LL型平衡旋转：右旋平衡处理，其实就是想办法把这些二叉树弄平衡，看图：

RR型平衡旋转：左旋处理。

从上面的两个旋转来看，主要是把中间的那个节点作为根结点，然后另外两个结点分别作为左、右子树，就能达到目的。

接下来我们看有点点复杂的，其实也很简单：

LR型平衡旋转：我们有了上面两个基础，再来看这个也就easy了：看图说话：

不要被这个图吓着，其实我当时一看也懵了半天，但是经过我们一分析，都是纸老虎：我们看

1、我们把左边这个图分解来看：

左子树是添加了一个新的结点，一看很熟悉，我们把这颗左子树去掉BL和CL，那么就跟RR型旋转是一样的道理了，把C结点作为根结点，就成了：那么这边这棵树就没问题了，接下来我们看整棵树：

整棵树还是不平衡的，所以我们还是老办法，看成是LL型的：就能得到结果了：

还有一种旋转LR旋转，一样的，我们就不说了。呵呵，希望能帮到大家。