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【扩展Baby Step Giant Step解决离散对数问题】(转自AC神牛。。。。)

来源：互联网 发布：网络盒子与机顶盒 编辑：程序博客网 时间：2024/05/24 05:42

原创帖！转载请注明作者 AekdyCoin !


【普通Baby Step Giant Step】

【问题模型】
求解
A^x = B (mod C) 中 0 <= x < C 的解,C 为素数

【思路】
我们可以做一个等价
x = i * m + j  ( 0 <= i < m, 0 <=j < m) m = Ceil ( sqrt( C) )
而这么分解的目的无非是为了转化为:
(A^i)^m * A^j = B ( mod C)

之后做少许暴力的工作就可以解决问题：
(1) for i = 0 -> m, 插入Hash (i, A^i mod C)
(2) 枚举 i ,对于每一个枚举到的i,令  AA = (A^m)^i mod C
我们有
AA * A^j = B (mod C)
显然AA,B,C均已知，而由于C为素数,那么(AA,C)无条件为1
于是对于这个模方程解的个数唯一(可以利用扩展欧几里得或 欧拉定理来求解)
那么对于得到的唯一解X,在Hash表中寻找,如果找到，则返回 i * m + j 
注意:由于i从小到大的枚举,而Hash表中存在的j必然是对于某个剩余系内的元素X 是最小的(就是指标)
所以显然此时就可以得到最小解

如果需要得到 x > 0的解，那么只需要在上面的步骤中判断 当 i * m + j > 0 的时候才返回


到目前为止，以上的算法都不存在争议,大家实现的代码均相差不大。可见当C为素数的时候，此类离散对数的问题可以变得十分容易实现。


【扩展Baby Step Giant Step】

【问题模型】
求解
A^x = B (mod C) 中 0 <= x < C 的解,C 无限制(当然大小有限制……)

【写在前面】
这个问题比较麻烦，目前网络上流传许多版本的做法，不过大部分已近被证明是完全错误的！

这里就不再累述这些做法，下面是我的做法(有问题欢迎提出)

下面先给出算法框架，稍后给出详细证明:

(0) for i = 0 -> 50 if(A^i mod C == B) return i    O(50)
(1)  d<- 0                D<- 1 mod C
while((tmp=gcd(A,C))!=1)
{
if(B%tmp)return -1; // 无解!
++d;
C/=tmp;
B/=tmp;
D=D*A/tmp%C;
}
(2) m = Ceil ( sqrt(C) ) //Ceil是必要的     O(1)
(3) for i = 0 -> m 插入Hash表(i, A^i mod C)  O( m)
(4) K=pow_mod(A,m,C)
for i = 0 -> m
解 D * X = B (mod C) 的唯一解 (如果存在解，必然唯一!)
之后Hash表中查询,若查到(假设是 j)，则 return i * m + j + d
否则
D=D*K%C,继续循环
(5) 无条件返回 -1 ;//无解!


下面是证明:
推论1:
A^x = B(mod C)
等价为
A^a  * A^b  = B ( mod C)   (a+b) == x       a,b >= 0

证明:
A^x = K * C + B (模的定义)
A^a * A^b = K*C + B( a,b >=0, a + b == x)
所以有 
A^a * A^b = B(mod C)

推论 2:

令 AA * A^b = B(mod C)

那么解存在的必要条件为:  可以得到至少一个可行解 A^b = X (mod C)

使上式成立

推论3

AA * A^b = B(mod C)

中解的个数为 (AA,C)

由推论3 不难想到对原始Baby Step Giant Step的改进

For I = 0 -> m

 For any solution that AA * X = B (mod C)

If find X

  Return I * m + j

而根据推论3,以上算法的复杂度实际在 (AA,C)很大的时候会退化到几乎O(C)

归结原因，是因为(AA,C)过大，而就是(A,C)过大
于是我们需要找到一中做法，可以将(A,C)减少，并不影响解

下面介绍一种“消因子”的做法

一开始D = 1 mod C
进行若干论的消因子,对于每次消因子
令 G = (A,C[i])  // C[i]表示经过i轮消因子以后的C的值
如果不存在 G | B[i]  //B[i]表示经过i轮消因子以后的B的值
直接返回无解
否则
B[i+1] = B[i] / G
C[i+1] = C[i] / G
D = D * A / G

具体实现只需要用若干变量,细节参考代码

假设我们消了a'轮(假设最后得到的B,C分别为B',C')
那么有
D * A^b = B' (mod C')

于是可以得到算法

for i = 0 -> m
解 ( D* (A^m) ^i ) * X = B'(mod C')
由于 ( D* (A^m) ^i , C') = 1 (想想为什么？)
于是我们可以得到唯一解
之后的做法就是对于这个唯一解在Hash中查找

这样我们可以得到b的值,那么最小解就是a' + b !!

现在问题大约已近解决了，可是细心看来，其实还是有BUG的，那就是
对于
A^x = B(mod C)
如果x的最小解< a',那么会出错
而考虑到每次消因子最小消 2
故a'最大值为log(C)
于是我们可以暴力枚举0->log(C)的解，若得到了一个解，直接返回
否则必然有 解x > log(C)

PS.以上算法基于Hash 表,如果使用map等平衡树维护，那么复杂度会更大

要去做实验了，下午有空继续更新,下面是HDU 2815的代码

[cpp] view plaincopy
  1. #include<iostream>  
  2. #include<map>  
  3. #include<cmath>  
  4. using namespace std;  
  5. typedef long long LL;  
  6. int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}  
  7. int ext_gcd(int a,int b,int& x,int& y){  
  8.     int t,ret;  
  9.     if (!b){x=1,y=0;return a;}  
  10.     ret=ext_gcd(b,a%b,x,y);  
  11.     t=x,x=y,y=t-a/b*y;  
  12.     return ret;  
  13. }  
  14. int Inval(int a,int b,int n){  
  15.     int x,y,e;  
  16.     ext_gcd(a,n,x,y);  
  17.     e=(LL)x*b%n;  
  18.     return e<0?e+n:e;  
  19. }  
  20. int pow_mod(LL a,int b,int c){LL ret=1%c;a%=c;while(b){if(b&1)ret=ret*a%c;a=a*a%c;b>>=1;}return ret;}  
  21. int BabyStep(int A,int B,int C){  
  22.     map<int,int> Hash;  
  23.     LL buf=1%C,D=buf,K;  
  24.     int i,d=0,tmp;  
  25.     for(i=0;i<=100;buf=buf*A%C,++i)if(buf==B)return i;  
  26.     while((tmp=gcd(A,C))!=1)  
  27.     {  
  28.         if(B%tmp)return -1;  
  29.         ++d;  
  30.         C/=tmp;  
  31.         B/=tmp;  
  32.         D=D*A/tmp%C;  
  33.     }  
  34.     Hash.clear();  
  35.     int M=(int)ceil(sqrt((double)C));  
  36.     for(buf=1%C,i=0;i<=M;buf=buf*A%C,++i)if(Hash.find((int)buf)==Hash.end())Hash[(int)buf]=i;  
  37.     for(i=0,K=pow_mod((LL)A,M,C);i<=M;D=D*K%C,++i)  
  38.     {  
  39.         tmp=Inval((int)D,B,C);  
  40.         if(tmp>=0&&Hash.find(tmp)!=Hash.end())return i*M+Hash[tmp]+d;  
  41.     }  
  42.     return -1;  
  43. }  
  44. int main()  
  45. {  
  46.     int A,B,C;  
  47.     while(scanf("%d%d%d",&A,&C,&B)!=EOF)  
  48.     {  
  49.         if(B>=C){puts("Orz,I can’t find D!");continue;}  
  50.         int tmp=BabyStep(A,B,C);  
  51.         if(tmp<0)puts("Orz,I can’t find D!");else printf("%d\n",tmp);  
  52.     }  
  53.     return 0;  
  54. }  
  55.   
  56.   
  57. 下面是POJ Clever Y的代码(Hash还是相当快的)  
  58.   
  59. #include<iostream>  
  60. #include<map>  
  61. #include<cmath>  
  62. using namespace std;  
  63. typedef long long LL;  
  64. const int maxn = 65535;  
  65. struct hash{  
  66.     int a,b,next;  
  67. }Hash[maxn << 1];  
  68. int flg[maxn + 66];  
  69. int top,idx;  
  70. void ins(int a,int b){  
  71.     int k = b & maxn;  
  72.     if(flg[k] != idx){  
  73.         flg[k] = idx;  
  74.         Hash[k].next = -1;  
  75.         Hash[k].a = a;  
  76.         Hash[k].b = b;  
  77.         return ;  
  78.     }  
  79.     while(Hash[k].next != -1){  
  80.         if(Hash[k].b == b) return ;  
  81.         k = Hash[k].next;  
  82.     }  
  83.     Hash[k].next = ++ top;  
  84.     Hash[top].next = -1;  
  85.     Hash[top].a = a;  
  86.     Hash[top].b = b;  
  87. }  
  88. int find(int b){  
  89.     int k = b & maxn;  
  90.     if(flg[k] != idx) return -1;  
  91.     while(k != -1){  
  92.         if(Hash[k].b == b) return Hash[k].a;  
  93.         k = Hash[k].next;  
  94.     }  
  95.     return -1;  
  96. }  
  97. int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}  
  98. int ext_gcd(int a,int b,int& x,int& y){  
  99.     int t,ret;  
  100.     if (!b){x=1,y=0;return a;}  
  101.     ret=ext_gcd(b,a%b,x,y);  
  102.     t=x,x=y,y=t-a/b*y;  
  103.     return ret;  
  104. }  
  105. int Inval(int a,int b,int n){  
  106.     int x,y,e;  
  107.     ext_gcd(a,n,x,y);  
  108.     e=(LL)x*b%n;  
  109.     return e<0?e+n:e;  
  110. }  
  111. int pow_mod(LL a,int b,int c){LL ret=1%c;a%=c;while(b){if(b&1)ret=ret*a%c;a=a*a%c;b>>=1;}return ret;}  
  112. int BabyStep(int A,int B,int C){  
  113.     top = maxn; ++ idx;   
  114.     LL buf=1%C,D=buf,K;  
  115.     int i,d=0,tmp;  
  116.     for(i=0;i<=100;buf=buf*A%C,++i)if(buf==B)return i;  
  117.     while((tmp=gcd(A,C))!=1){  
  118.         if(B%tmp)return -1;  
  119.         ++d;  
  120.         C/=tmp;  
  121.         B/=tmp;  
  122.         D=D*A/tmp%C;  
  123.     }  
  124.     int M=(int)ceil(sqrt((double)C));  
  125.     for(buf=1%C,i=0;i<=M;buf=buf*A%C,++i)ins(i,buf);  
  126.     for(i=0,K=pow_mod((LL)A,M,C);i<=M;D=D*K%C,++i){  
  127.         tmp=Inval((int)D,B,C);int w ;  
  128.         if(tmp>=0&&(w = find(tmp)) != -1)return i*M+w+d;  
  129.     }  
  130.     return -1;  
  131. }  
  132. int main(){  
  133.     int A,B,C;  
  134.     while(scanf("%d%d%d",&A,&C,&B)!=EOF,A || B || C){  
  135.         B %= C;  
  136.         int tmp=BabyStep(A,B,C);  
  137.         if(tmp<0)puts("No Solution");else printf("%d\n",tmp);  
  138.     }  
  139.     return 0;  
  140. }  
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