最大公约数 最小公倍数

求解最大公约数和最小公倍数。

有两大种方法：求解最大公约数有欧几里德算法和stein算法。其中欧几里德算法又分为一般的和扩展的欧几里德算法。

而求解两数的最小公倍数则利用了它们的最大公约数，有公式lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。lcm是最小公倍数的英文缩写，gcd同样。

所以求解最小公倍数的代码只在一般欧几里德算法分析中介绍下，读者可以举一反三。

 

一、欧几里德算法

1、一般欧几里德算法（只求最大公约数）

求最大公约数一个经典的方法就是辗转相除法了。以下将要介绍的代码也是利用其求解的。

其中，求解最大公约数用了递归和非递归两种方法，代码中有注释。  

 

代码如下：

#include<iostream>using namespace std;int gcd(int a,int b)  //a,b最大公约数，递归 {if(b==0)return a;else    return gcd(b,a%b);}int GCD(int a,int b)   //a,b最大公约数，非递归 {    int tem;        if(a<b)    {       tem=a;       a=b;       b=tem;    }        int rem=1;    while(rem!=0)    {        rem=a%b;        a=b;        b=rem;    }        return a;} int lcm(int a,int b)  //最小公倍数 {    return a*b/gcd(a,b);}int main(){    int a,b,lc,gc1,gc2;        cout<<"输入:";     while(cin>>a>>b)    {       gc1=gcd(a,b);       gc2=GCD(a,b);       lc=lcm(a,b);              cout<<"最大公约数:"<<gc1<<endl;       cout<<"最大公约数:"<<gc2<<endl;       cout<<"最小公倍数:"<<lc<<endl;       cout<<endl;       cout<<"输入:";     }        return 0;} 

         测试结果：

 再来啰嗦两句。求解最大公约数的非递归方法应该说很好理解，完全的辗转相除法。而递归方法则由于没有判断a,b的大小关系，很容易让人迷惑。

 比如，输入28   1274时，会有人觉得不能求解。其实，输入28   1274和输入1274   28是基本一样的。解释如下：输入28   1274，调用gcd(28,1274)，

 b=1274，b!=0，所以执行return  gcd(b,a%b)也即return  gcd(1274,28)。因为28%1274=28！到此，已经和直接输入1274   28一样了。

2、扩展欧几里德算法（不仅仅可求出最大公约数，还可解出方程ax+by=gcd(a,b)中的x和y）

其详细描述及证明，请参考：点击打开链接

 

算法代码：

int extendGcd(int a,int b,int &x,int &y)   //扩展gcd，可以求出gcd(a,b)以及ax+by=gcd(a,b)中x,y的值{if(b==0){x=1;y=0;return a;}else{int a1=extendGcd(b,a%b,x,y);int tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;return a1;}}

 

二、Stein算法

Stein算法与欧几里德算法的不同是：Stein算法只有整数的移位与加减法，不需要进行除法和取模运算。

 

算法描述：

（1）判断a或b是否为0，若a=0，则b就是最小公倍数；若b=0，则a就是最小公倍数。算法结束。

（2）设a1=a，b1=b，c1=1。

（3）判断an、bn是否为偶数

①若都是偶数，则令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=2*cn。

②若an是偶数，则令a(n+1)=an/2，b(n+1)=bn，c(n+1)=cn。

③若bn是偶数，则令a(n+1)=an，b(n+1)=bn/2，c(n+1)=cn。

④若an、bn都是奇数，则令a(n+1)=|an-bn|，b(n+1)=min(an,bn)，c(n+1)=cn。

（4）n累加1，跳转到（3）进行下一轮计算。

 

算法代码如下：

方法一：

int gcd(int a,int b){int min=(a>b)?b:a;int max=(a>b)?a:b;if(min==0)return max;if(max%2==0 && min%2==0)return 2*gcd(max/2,min/2);if(max%2==0)return gcd(max/2,min);if(min%2==0)return gcd(max,min/2);return gcd((max+min)/2,(max-min)/2);  //都是奇数，貌似和算法给出的不太一样，我测试了几组数据都是对的。。。}

方法二：

int gcd(int a,int b){int min=(a>b)?b:a;int max=(a>b)?a:b;if(!min)return max;if(!max)return min;if(!(min&1) && !(max&1))  //都是偶数return gcd(min>>1,max>>1)<<1;if(!(min&1))      //小数为偶return gcd(min>>1,max);if(!(max&1))      //大数为偶return gcd(min,max>>1);//return gcd((max-min)>>1,min);  //都是奇数，不知道为啥这个也行？？？    return gcd(max-min,min);  //都是奇数}