信号处理理解及滤波器&窗函数原理

1.时间窗函数要足够宽（栅栏效应）

上图所示，两个频率为f1和f2的调幅信号，用f_w1和f_w2采样频率相同。可以理解为，w1和w2是在时域或频域图的宽度。比如，w1采了100个点,w2为1000个点，w1=10*w2，可以表示更细的点,f1和f2的位置没有变，但细节变了。时间窗函数足够宽，包含了包络整个周期，有了足够的信息量，就能更精确地确定频谱，即采样的点数要足够长。

 

2.频谱分辨率

取上面的信号来看，高的频率分辨率，即高的采样频率，如w2>w1，则能将f1和f2分开。换一种说法，假如f1-f2=df，则df在w1和w2长度中占的比例是不同的，所以会将两个信号拉开。由于采样频率提高，得到更多的信息，频谱信息自然更好。窗函数足够宽，可以看为采样的整个数量要长，提高频谱分辨率可看为采样的密度要提高。

 

3. 谱泄露

谱泄露是指，由于对一段无限长周期信号截取（窗），得到的这一段信号如果首尾拼接，产生的新的无限长周期与原信号不一样的。上图时域看，是因为在t0和tw处的信号f(t0) != f(tw)。

从频谱看，本是单音的谱信号，能量分散到周围。所以叫谱泄露。

 

 

-------------------------------------我是灵魂的分割线------------------------------------------------------------

[FFT] matlab中关于FFT的使用（理解频率分辨率、补零问题）

 

一.调用方法

 

X=FFT(x)；

X=FFT(x，N)；

x=IFFT(X);

x=IFFT(X,N)

 

用MATLAB进行谱分析时注意：

（1）函数FFT返回值的数据结构具有对称性。

例：

N=8;

n=0:N-1;

xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];

Xk=fft(xn)

 

→

Xk =

 

39.0000           -10.7782 + 6.2929i        0 - 5.0000i   4.7782 - 7.7071i   5.0000             4.7782 + 7.7071i        0 + 5.0000i -10.7782 - 6.2929i

 

 

Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。

（2）做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。

二.FFT应用举例

 

例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。

 

clf;

fs=100;N=128;   %采样频率和数据点数

n=0:N-1;t=n/fs;   %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y=fft(x,N);    %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y);     %求得Fourier变换后的振幅，其实这里仅取了fft计算结果的实部

f=n*fs/N;   %频率序列

subplot(2,2,1),plot(f,mag);   %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');gridon;

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=128');gridon;

%对信号采样数据为1024点的处理

fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y=fft(x,N);   %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y);   %求取Fourier变换的振幅

f=n*fs/N;

subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');gridon;

subplot(2,2,4)

plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('N=1024');gridon;

 

运行结果：

 

 

fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内的幅频特性。若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0~1进行。另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值（因为采样也加入了能量？），但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N。

例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,绘制：

（1）数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32；

（2）N=32，NFFT=128；

（3）N=136，NFFT=128；

（4）N=136，NFFT=512。

 

clf;fs=100; %采样频率

Ndata=32; %数据长度

N=32; %FFT的数据长度

n=0:Ndata-1;t=n/fs;   %数据对应的时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);   %时间域信号

y=fft(x,N);   %信号的Fourier变换

mag=abs(y);    %求取振幅

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);%绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;

 

Ndata=32;  %数据个数

N=128;    %FFT采用的数据长度

n=0:Ndata-1;t=n/fs;   %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);%绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;

 

Ndata=136;  %数据个数

N=128;    %FFT采用的数据个数

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N;   %真实频率

subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);%绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;

 

Ndata=136;    %数据个数

N=512;   %FFT所用的数据个数

n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列

x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);

y=fft(x,N);

mag=abs(y);

f=(0:N-1)*fs/N;   %真实频率

subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N);%绘出Nyquist频率之前的振幅

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');

title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;

 

 

结论：

（1）当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。

（2）由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。

（3）FFT程序将数据截断，这时分辨率较高（相当于加宽了窗，时域采集了更多的点）。

（4）也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。

对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。