LCA算法

LCA算法：

LCA（Least Common Ancestor），顾名思义，是指在一棵树中，距离两个点最近的两者的公共节点。也就是说，在两个点通往根的道路上，肯定会有公共的节点，我们就是要求找到公共的节点中，深度尽量深的点。还可以表示成另一种说法，就是如果把树看成是一个图，这找到这两个点中的最短距离。

      LCA算法有在线算法也有离线算法，所谓的在线算法就是实时性的，比方说，给你一个输入，算法就给出一个输出，就像是http请求，请求网页一样。给一个实时的请求，就返回给你一个请求的网页。而离线算法则是要求一次性读入所有的请求，然后在统一得处理。而在处理的过程中不一定是按照请求的输入顺序来处理的。说不定后输入的请求在算法的执行过程中是被先处理的。

      本文先介绍一个离线的算法，就做tarjan算法。这个算法是基于并查集和DFS的。Dfs的作用呢，就是递归，一次对树中的每一个节点进行处理。而并查集的作用就是当dfs每访问完（注意，这里是访问完）到一个点的时候，就通过并查集将这个点，和它的子节点链接在一起构成一个集合，也就是将并查集中的pnt值都指向当前节点。这样就把树中的节点分成了若干个的集合，然后就是根据这些集合的情况来对输入数据来进行处理。

      比方说当前访问到的节点是u，等u处理完之后呢，ancestor[u]就构成了u的集合中的点与u点的LCA，而ancestor[fa[u]]就构成了，u的兄弟节点及其兄弟子树的集合中点与u的LCA，而ancestor[fa[fa[u]]]就构成了u的父亲节点的兄弟节点及其兄弟子树的集合中的点与u的LCA。然后依次类推，这样就构成了这个LCA的离线算法。

 

下面来分析一下代码：

int findp(int x)

{

    if(pnt[x]!=x)   pnt[x] = findp(pnt[x]);

    return pnt[x];

}                            

int unionset(int x,int y)

{

    int x = findp(x);

    int y = findp(y);

    pnt[y] = x;

}      //以上两步是并查集的操作，没啥过多解释。

void Lcancestor(int parent)

{

    pnt[parent] = parent;   //当访问到一个点的时候，先将其自己形成一个集合

    ancestor[findp(parent)] = parent; 

    for(int i=0;i<=child[parent].size();i++)

    {     //接着一次访问节点的子节点，

        Lcancestor(child[parent][i]);   //依次对子节点进行访问。

        unionset(parent,child[parent][i]);   //在处理完后，将子节点的集合链接到父节点

        ancestor[findp(child[parent][i])] = parent;

    }   //实际上这一步起到了并查集的压缩节点的作用。这样可以将查询降低到O(1)

    color[parent] = true;

    if( parent = first && color[second] )     //这里的first和second主要针对的是查询的每次操作时输入的两个数。

    {

        ans = ancestor[findp(second)] ;

    }

    if( parent = second && color[first] )

    {

        ans = ancestor[findp(first)];

    }

}

LCA还有其他的算法，例如，将每个点到根节点的路径构成一个链表，那么LCA就是求两个链表的公共节点中位置最靠后的一个点。还有的LCA可以与RMQ问题结合起来，至于什么事RMQ问题，将会在下一篇博文中给出解释。