超大整数乘法运算——C语言

超大整数乘法运算——C语言

        在计算机中，长整型(long int)变量的范围是 -2147483648 至 2147483647，因此若用长整型变量做乘法运算，乘积最多不能超过 10位数。即便用双精度型(double)变量，也仅能保证 16 位有效数字的精度。在某些需要更高精度的乘法运算的场合，需要用别的办法来实现乘法运算。 
        比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能实现任意大整数的乘法运算。经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。 

下面先介绍“列表法”： 
例如当计算8765 x 234时，把乘数与被乘数照如下列出，见表1：                         

                        
把表1中的数按图示斜线分组（横纵坐标和相等的数分为一组），把每组数的累加起来所得的和记在表格下方，见表 2：

        从最低位的 20 开始，保留个位数字“0”，把个位以外的数“2”进到前一位；把次低位的 39 加上低位进上来的 2 得 41，保留个位数字“1”，把“4”进到前一位；以此类推，直至最高位的 16，16 加上低位进上来的4得 20，保留“0”，把2进到最高位，得乘积答数 2051010。                      

根据以上思路就可以编写C 程序了，再经分析可得： 
1、一个m 位的整数与一个 n 位的整数相乘，乘积为m+n-1 位或m+n 位。 
2、程序中，用三个字符数组分别存储乘数、被乘数与乘积。由第 1 点分析知，存放乘积的字符数组
的长度应不小于存放乘数与被乘数的两个数组的长度之和。 
3、可以把第二步“计算填表”与第三四步“累加进位”放在一起完成，可以节省存储表格 2所需的空间。 
4、程序关键部分是两层循环，内层循环累计一组数的和，外层循环处理保留的数字与进位。 

编写的程序如下： 

#define MAXLENGTH 1000 #include <stdio.h> #include <string.h> void compute(char *a, char *b, char *c); void main(void) {     char a[MAXLENGTH], b[MAXLENGTH], c[MAXLENGTH * 2];     puts("Input multiplier :");     gets(a);     puts("Input multiplicand :");     gets(b);     compute(a, b, c);     puts("Answer :");     puts(c);     getchar(); } void compute(char *a, char *b, char *c) {     int i, j, m, n;     long sum, carry;     m = strlen(a) - 1;     n = strlen(b) - 1;     for (i = m; i >= 0; i--)         a[i] -= '0';     for (i = n; i >= 0; i--)         b[i] -= '0';     c[m + n + 2] = '\0';     carry = 0;     for (i = m + n; i >= 0; i--) /* i 为坐标和 */     {        sum = carry;         if ((j = i - m) < 0)             j = 0;         for ( ; j<=i && j<=n; j++) /* j 为纵坐标 */             sum += a[i-j] * b[j]; /* 累计一组数的和 */         c[i + 1] = sum % 10 + '0'; /* 算出保留的数字 */         carry = sum / 10; /* 算出进位 */     }     if ((c[0] = carry+'0') == '0') /* if no carry, */         c[0] = '\040'; /* c[0] equals to space */ } 

效率分析：用以上算法计算 m位整数乘以n 位整数，需要先进行 m x n次乘法运算，再进行约 m + n次加法运算和 m + n次取模运算(实为整数除法)。把这个程序稍加修改，让它自己产生乘数与被乘数，然后计算随机的 7200位整数互乘，在Cyrix 6x86 pr166机器的纯DOS方式下耗时 7秒(用Borland C3.1编译)。

经过改进，此算法效率可以提高约9 倍。 
注意到以下事实：8216547 x 96785 将两数从个位起，每 3位分为节，列出乘法表，将斜线间的数字相加；

8   216   547 
     96     785

将表中最后一行进行如下处理：从个位数开始，每一个方格里只保留三位数字，超出 1000 的部
分进位到前一个方格里； 

所以8216547 x 96785 = 795238501395 

也就是说我们在计算生成这个二维表时，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加时也是满1000进位。这样，我们在计算 m位整数乘以 n位整数，只需要进行 m x n / 9次乘法运算，再进行约(m + n) / 3次加法运算和(m + n) /3 次取模运算。总体看来，效率约是前一种算法的 9倍。 
有人可能会想：既然能够三位三位地乘，为什么不4位 4位甚至5位5位地乘呢？那不是可以提高 16 乃至 25 倍效率吗？听我解来：本算法在累加表中斜线间的数字时，如果用无符号长整数(范围 0至~4294967295)作为累加变量，在最不利的情况下(两个乘数的所有数字均是 9)，能够累加约4294967295/(999*999)=4300 次，也就是能够准确计算任意两个均不超过 12900(每次累加的结果"值"三位，故 4300*3=12900)位的整数相乘。如果 4 位 4 位地乘，在最不利的情况下，能够累加约4294967295/(9999*9999)=43 次，仅能够确保任意两个不超过 172 位的整数相乘，没有什么实用价值，更不要说5位了。 

请看改进后的算法的实例程序： 
该程序随机产生两个72xx位的整数，把乘数与积保存在 result.txt中。在Borland C++ 3.1 中用 
BCC -3 -O2 -G -mh -Z -f287 -pr -T- dashu.cpp 编译生成的exe文件在Cyrix 6x86 pr166的机器上运行耗时0.82 秒。 
程序 2 清单： 

#include<conio.h> #include<string.h> #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #define N 7200 //作 72xx 位的整数乘法 int max(int,int,int); int initarray(int a[]); void write(int a[],int l); FILE *fp; void main() {     int a[5000]={0},b[5000]={0},k[10001]={0}; //声明存放乘数、被乘数与积的数组     clock_t start, end; //声明用于计时的变量     unsigned long c,d,e; //声明作累加用的无符号长整数变量     int i,j,la,lb,ma,mi,p,q,t; //声明其它变量     randomize(); //初始化随机数     la=initarray(a); //产生被乘数，并返回其长度     lb=initarray(b); //产生乘数，并返回其长度     if(la<lb) //如果被乘数长度小于乘数，则交换被乘数与乘数     {        p=(lb>la)?lb:la;         for (q=0;q<p;q++) //交换被乘数与乘数         t=a[q],a[q]=b[q],b[q]=t;         t=la,la=lb,lb=t; //交换被乘数的长度与乘数的长度     }     start = clock();//开始计时    c=d=0; //清空累加变量，其中 C 用于累加斜线间的数，d 用作进位标志    for(i=la+lb-2;i>=0;i--) //累加斜线间的数，i 为横纵坐标之和    {        c=d; //将前一位的进位标志存入累加变量 c        ma=max(0,i-la+1,i-lb+1); //求累加的下限        mi=(i>la-1)?(la-1):i; //求累加的上限        for(j=ma;j<=mi;j++) //计算出横纵坐标之和为 i 的单元内的数,并累加到 C 中            c+=(long)a[j]*b[i-j];        d=c/1000; //求进位标志        if(c>999)            c%=1000; //取 c 的末三位        k[i]=c; //保存至表示乘积的数组 k[]    }    e=k[0]+1000*d; //求出乘积的最高位    end = clock();//停止计时    fp = fopen("result.txt", "w+"); //保存结果到 result.txt    printf("\nThe elapsed time was: %3.4f\n", (end - start) / CLK_TCK);    //打印消耗的时间    fprintf(fp,"%d",a[0]); //打印被乘数最高位    write(a,la); //打印被乘数其他位    fprintf(fp,"%d",b[0]); //打印乘数最高位    write(b,lb); //打印乘数其他位    fprintf(fp,"%ld",e); //打印乘积最高位    write(k,la+lb-1); //打印乘积其他位    fclose(fp);}max(int a,int b,int c) {     int d;     d=(a>b)?a:b;     return (d>c)?d:c; } int initarray(int a[]) {     int q,p,i;     q=N+random(100);     if(q%3==0)         p=q/3;     else         p=q/3+1;         for(i=0;i<p;i++)         a[i]=random(1000);         if(q%3==0)         a[0]=100+random(900);     if(q%3==2)         a[0]=10+random(90);     if(q%3==1)         a[0]=1+random(9);         return p; } void write(int a[],int l) {     int i;     char string[10];     for(i=1;i<l;i++)    {         itoa(a[i],string,10);         if (strlen(string)==1)             fprintf(fp,"00");         if (strlen(string)==2)             fprintf(fp,"0");         fprintf(fp,"%s",string);         if((i+1)%25==0)             fprintf(fp,"\n");     }     fprintf(fp,"\n");     fprintf(fp,"\n"); }