hdu 3473 Minimum Sum 划分树

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3473

题意：给定一个数组，有Q次的询问，每次询问的格式为(l,r)，表示寻找一个x，使得的值最小。N<=100000, Q <=100000.

思路：本题根据N，Q的数据规模就可以看出，我们需要寻找一种查询时间复杂度为O(logN)的算法，否则肯定会超时。首先可以简单地证明得出这个x的值一定是区间（l，r）的中位数的取值，这个证明也很容易证明，这里就不再证明了，而一个区间的中位数就是将这个区间排序之后的中间那个，也就是假设区间(l,r)长度为len ，则中位数就是该区间的第(len)/2-l+1小的元素，求一个区间的第K小元素的算法很自然地会想到划分树， 而且划分树的查询复杂度为：O(logn)，正好可以解决此题。

        算法确定了之后就是具体的实现过程了，普通的划分树求的是区间内的第k小的元素，而这题是要求差值，也就是说我们不但要求出区间的第k小的元素，还要求出所有比中位数小的数 lsum，当然比中位数大的数的和可以根据区间的数的总和和lsum求得，因此不需要额外求。这样我们只需要在划分树建树的时候增加一个lsum[ ][i] 数组就可以了， 这个数组保存的是，在deep层，第i个元素做的区间中，在i前面被划分到左子树的元素之和。这样我们就可以求出最后的解了。

代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;typedef __int64 LL ;#define L(r) ((r<<1)) #define R(r) ((r<<1)+1)#define MID(l,r) ((l+r)>>1)const int MAX = 21 ;const int MAXN = 100000+10 ;int T ,N , Q;long s[MAXN] ;int val[MAX][MAXN] ;int tol[MAX][MAXN] ;LL lsum[MAX][MAXN] ;LL sum[MAXN] ;struct Node{int l ,r ;}p[MAXN*5] ;void Build(int idx,int deep,int l, int r){p[idx].l = l ; p[idx].r = r ;if(l == r)return ;int mid = MID(l ,r);int lnum = mid - l + 1;int v = s[mid] ;for(int i=l;i<=mid;i++){if(val[deep][i] < v)lnum -- ;}int lto,rto ;lto = rto = 0 ;for(int i=l;i<=r;i++){if(i == l){tol[deep][i] = 0 ;lsum[deep][i] = 0 ;}else{tol[deep][i] = tol[deep][i-1] ;lsum[deep][i] = lsum[deep][i-1] ;}if( val[deep][i] < v){tol[deep][i] ++ ;lsum[deep][i] += val[deep][i] ;val[deep+1][ l+lto++ ] = val[deep][i] ;}else if( val[deep][i] > v){val[deep+1][ mid+1+rto++ ] = val[deep][i] ;}else{if(lnum > 0){lnum -- ;tol[deep][i] ++ ;val[deep+1][ l+lto++ ] = val[deep][i] ;lsum[deep][i] += val[deep][i] ;}else{val[deep+1][ mid+1+rto++ ] = val[deep][i] ;}}}Build( L(idx) , deep+1 , l ,  mid ) ;Build( R(idx) , deep+1 , mid+1 , r ) ;} LL toleft ;LL query(int idx, int deep , int l , int r , int k){if(l == r){return val[deep][l] ;}int s, ss ;LL sum1 ;if(l == p[idx].l){ss = 0 ;sum1 = 0 ;} else{ss = tol[deep][l-1] ;sum1 = lsum[deep][l-1] ;}s = tol[deep][r] - ss ;int mid = MID( p[idx].l , p[idx].r ) ;if(s >= k){return query( L(idx) , deep+1, p[idx].l+ss ,p[idx].l+tol[deep][r]-1 , k) ;}else{int ee = l - p[idx].l - ss; int e = r - l + 1 - s ; toleft += ( lsum[deep][r] - sum1 ) ;return query( R(idx) , deep+1 , mid+1+ee , mid+ee+e ,k-s);}}void solve(){int a ,b ;int ans1 , k ,cas = 0;while(T--){++cas ;scanf("%d",&N);sum[0] = 0 ;for(int i=1;i<=N;i++){scanf("%d",&s[i]);val[1][i] = s[i] ;sum[i] = sum[i-1] + s[i] ;}std::sort(s+1,s+1+N);Build(1,1,1,N);scanf("%d",&Q);printf("Case #%d:\n",cas);for(int i=0;i<Q;i++){scanf("%d %d",&a,&b);a++ ; b ++ ;k = (a + b)/2 - a  + 1 ;toleft= 0 ;LL res = query(1,1,a,b,k);LL ans = res*(k-1) - toleft ;ans += ( sum[b] - sum[a-1] - toleft - res*(b-a+2-k) );printf("%I64d\n",ans);}printf("\n");}}int main(){scanf("%d",&T);solve() ;return 0 ;}