Per Pixel Lighting [Part 6]

在前面所提到的，利用 cubic environment map 來達到 per pixel lighting 的技巧，基本上只適用於平行光的情形。這是因為，在平行光的情形時，對任何 pixel 來說，光源的方向都是一致的。所以，才能夠把原來為雙向量函數的打光方程式，轉換成單向量函數。也因此，才能夠用一個 cubic environment map 來達成這樣的效果。這個方法的主要優點在於，因為它只利用到「查表」這個動作，所以打光函數的變化性很大，可以做出很多奇怪的效果，例如 anisotropic lighting。所謂的 anisotropic lighting 是指物體的表面的反光特性具有某種方向性。

如果光源的方向是隨著 pixel 的位置而變動，例如在點光源（point lighting）的情形下，那這個技巧就沒辦法用了。如果要用查表的方式，那將會需要一個 4D 的貼圖。這是不太可能做到的。當然，如果打光函數具有某些性質，可能可以加以 factorize，將一個 4D 的函數分為兩個 2D 函數的乘積（或是其它運算）。用這種方式，可以做到一些驚人的效果，像是某些 BRDF（Bi-directional Reflectance DistributiFunction）的模型。不過這部分相當複雜，如果以後有機會再討論這方面的東西。

如果光源的方向會隨著 pixel 的位置而改變，或是甚至物體本身的法向量就會改變（例如在 bump mapping 的情形），那就需要一個能在每個 pixel 上計算向量內積的方法，因為 diffuse lighting 就是用向量內積來計算的。在 DirectX 6 之後，Direct3D 開始支援一種新的 texture operation，稱為 DOT3_PRODUCT，它是把一個 pixel 的顏色（由 RGB 三個部分組成）視為一個 3D 向量，並計算兩個「顏色」的內積。不過，一般來說，顏色的各個 component 的範圍，傳統上是 0 ~ 1；但是在做向量內積時，向量的每個 component 的範圍通常需要是 -1 ~ +1。所以，在 DOT3_PRODUCT 這個 operation 中，把顏色的每個 components 經過 X * 2 - 1 這樣的運算，把它的範圍由 0 ~ 1 放大到 -1 ~ +1，進行內積運算後，再把結果切到 0 ~ 1 的範圍內，以符合 diffuse lighting 計算上的需要。

因此，利用 DOT3_PRODUCT 我們就可以在每個 pixel 上面做到向量內積的計算，這樣一來，就離 per-pixel lighting 不遠了。不過，要注意的是用 DOT3_PRODUCT 是沒辦法很容易做出 specular 的效果，這是因為 specular 的計算並不只是向量內積，通常還包含很多麻煩的計算。

不過，現在還有一個麻煩的問題。在 diffuse lighting 的公式中，雖然只是光源向量和法向量的內積，但是公式同時也要求這兩個向量必須是單位向量。而一般情形下，兩個單位向量的線性內插，並不一定會是單位向量，通常會變短。在某些極端的情形下，長度甚至會變成 0。而把一個向量 normalize 成單位向量，是非常複雜的動作，因為它需要先找出向量的長度（需要做平方根的計算），再把向量除以計算出來的長度。雖然一些方法可以簡化計算過程，例如直接計算出向量長度的倒數，再乘上原來的向量，即可避免除法。但是這樣的計算仍然不是可以在每個 pixel 上面進行的。

有些人可能會問，為什麼一定要做 normalization 呢？反正在大部分情形下，內插出來的向量，長度只是稍微短一些而已嘛！但是，實際上並不是這樣。如果稍微做一些計算，一定會發現一件驚人的事實：如果法向量內插後，沒有做 normalization 的話，那麼打光的結果將會和 per-vertex lighting 相差無幾！事實上，如果是在平行光的情形下，可以很容易證明，沒有做 normalization 的結果，會和 per-vertex lighting 完全相同。所以，如果不想做白工的話，要做出正確的 per-pixel lighting，做 normalization 是必要的。

幸運的是，我們並不需要真的去做 normalization，因為這些內量都是內插的結果。所以，只要事先計算出「內插並 normalize」的結果，就可以完全避開 normalization 的問題，把它轉換成查表的問題。這裡又會需要一個重要的貼圖方式，即前面已經用到多次的 cubic environment mapping。因為 cubic environment map 可以看成是一個「方向」的向量函數，即 <x, y, z> 和 <ax, ay, az> 會查到相同的值（如果 a 不是 0）。所以可以做出一個 cubic environment map，把任何非 0 向量 <x, y, z>，使其查到的顏色值，剛好是方向相同的單位向量。當然，顏色值需要做範圍放大的動作，讓範圍從 0 ~ 1 變成 -1 ~ +1。

點光源是另一個問題。如果要正確計算出光源的方向，就需要在每個 pixel 上面做向量的減法，再做 normalization。同樣的，這是不可能的。不過，如果光源的位置夠遠，而且三角面也都夠小的話，可以直接用內插的方式計算每個 pixel 的光源方向。這樣做並不正確，但是通常都夠接近了。

最後是點光源的衰減（attenuation）問題。點光源和平行光源有一個很大的不同，就是空間中的每個點，和光源都會有一個距離。所以，可以把點光源的強度，設定為會隨著距離而衰減。一般來說，要做到 per-pixel 的衰減是很困難的，因為衰減是距離的函數，通常是距離的某種函數的倒數或是類似的東西。這要做到 per-pixel 的計算並不容易。如果要用查表的方式也會有困難，因為空間中的距離是 3D 函數，所以這就表示要做到衰減的函數表，需要 3D 貼圖。這樣的成本就太高了，而且大部分的 3D 晶片也不支援 3D 貼圖。因此，一般來說，衰減只能以 per-vertex 的方式來做。

如果真的要只用 2D 貼圖做到 per-pixel 的衰減，也不是完全沒辦法，只是沒辦法做到完全正確。一個方法是把 3D 的座標投射到 2D 的座標上。這樣的效果會比只用 1D 座標來做，要稍微精確一些。不過，如果效果要好，投射的函式通常會是非線性的，這樣就不容易用硬體加速（一般的硬體 T&L 只能做四維的矩陣運算）。另一個方法，是試圖把衰減函數做 factorize，分解成兩個 2D 函數的乘積。這樣做的效果通常會比較好，但是成本極高，並不一定適用於所有的情形。

到這裡，大部分的問題都已經說得差不多了。接下來就是討論實作上的細節。