poj 1284

转自：http://www.cnblogs.com/ACShiryu/archive/2011/08/06/poj1284.html

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题意：

就是给出一个奇素数，求出他的原根的个数。

定义：n的原根x满足条件0<x<n,并且有集合{ (xi mod n) | 1 <= i <=n-1 } 和集合{ 1, ..., n-1 }相等

定理：如果p有原根，则它恰有φ(φ(p))个不同的原根，p为素数，当然φ(p)=p-1,因此就有φ(p-1)个原根

对于给出的素数p,
首先要明确一点：p的元根必然是存在的(这一点已由Euler证明，此处不再赘述)，因此，不妨设其中的一个元根是a0(1<=a0<=p-1)
按照题目的定义，a0^i(1<=i<=p-1) mod p的值是各不相同的，再由p是素数，联系Fermat小定理可知：q^(p-1) mod p=1;(1<=q<=p-1)(这个在下面有用)
下面证明,如果b是p的一个异于a的元根，不妨令b与a0^t关于p同余，那么必然有gcd(t,p-1)=1,亦即t与p-1互质;反之亦然;
证明：
若d=gcd(t,p-1)>1,令t=k1*d,p-1=k2*d,则由Fermat可知
(a0^(k1*d))^k2 mod p=(a0^(k2*d))^(k1) mod p=(a0^(p-1))^(k1) mod p=1
再由b=a0^t (mod p)，结合上面的式子可知：
(a0^(k1*d))^k2 mod n=b^k2 mod p=1;
然而b^0 mod p=1,所以b^0=b^k2 (mod p),所以b^i mod p的循环节=k2<p-1，因此这样的b不是元根；
 
再证，若d=gcd(t,p-1)=1,即t与p-1互质，那么b必然是元根；
否则假设存在1<=j<i<=p-1，使得b^j=b^i (mod p),即a0^(j*t)=a0^(i*t) (mod p),由a0是元根，即a0的循环节长度是(p-1)可知，(p-1) | (i*t-j*t)->(p-1) | t*(i-j),由于p与
t互质，所以(p-1) | (i-j),但是根据假设,0<i-j<p-1,得出矛盾，结论得证；

由上面的两个证明可知b=a0^t (mod p)，是一个元根的充要条件是t与p-1互质，所有的这些t的总个数就是Phi(p-1);

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1. #include<iostream>  
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5. #include<ctime>  
6. #include<algorithm>  
7. using namespace std;  
8.   
9. int Euler ( int n )  
10. {  
11.     int i, ret = n;  
12.     for ( i = 2; i * i <= n; i++ )  
13.     {  
14.         if ( n % i == 0 )  
15.         {  
16.             n /= i;  
17.             ret = ret - ret / i;  
18.             while ( n % i == 0 )  
19.                 n = n / i;  
20.         }  
21.     }  
22.     if ( n > 1 )  
23.         ret = ret - ret / n;  
24.     return ret;  
25. }  
26.   
27. int main()  
28. {  
29.     int p;  
30.     while ( scanf("%d",&p) != EOF )  
31.         printf("%d\n",Euler(p-1));  
32.     return 0;  
33. }