有符号数和无符号数负数

 (2012-02-17 01:23)

分类： Numerical_storage

理解有符号数和无符号数负数在计算机中如何表示呢？ 

这一点，你可能听过两种不同的回答。 

一种是教科书，它会告诉你：计算机用“补码”表示负数。可是有关“补码”的概念一说就得一节课，这一些我们需要在第6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再者，用“补码”表示负数，其实一种公式，公式的作用在于告诉你，想得问题的答案，应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以和答案？ 

另一种是一些程序员告诉你的：用二进制数的最高位表示符号，最高位是0，表示正数，最高位是1，表示负数。这种说法本身没错，可是如果没有下文，那么它就是错的。至少它不能解释，为什么字符类型的-1用二进制表示是“1111 1111”(16进制为FF)；而不是我们更能理解的“1000 0001”。（为什么说后者更好理解呢？因为既然说最高位是1时表示负数，那1000 0001不是正好是-1吗？）。 

让我们从头说起。 

1、你自已决定是否需要有正负

就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。 

在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符号类型，无正负的类型（只有正值），称为无符号类型。 

数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有符类型。 

字符类型也分为有符和无符类型。 

比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。 

2、使用二制数中的最高位表示正负 

首先得知道最高位是哪一位？1个字节的类型，如字符类型，最高位是第7位，2个字节的数，最高位是第15位，4个字节的数，最高位是第31位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是1个字节，所以最高位总是第7位。 

单字节数： 1111 1111 

双字节数： 1111 1111 1111 1111 

四字节数： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 
　 
当我们指定一个数量是无符号类型时，那么其最高位的1或0，和其它位一样，用来表示该数的大小。 

当我们指定一个数量是无符号类型时，此时，最高数称为“符号位”。为1时，表示该数为负值，为0时表示为正值。 
　 
3、无符号数和有符号数的范围区别

无符号数中，所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比： 

无符号数： 1111 1111    值：255 1* 2^7 + 1* 2^6 + 1* 2^5 + 1* 2^4 + 1* 2^3 + 1* 2^2 + 1* 2^1 + 1* 2^0 

有符号数： 0111 1111    值：127                 1* 2^6 + 1* 2^5 + 1* 2^4 + 1* 2^3 + 1* 2^2 + 1* 2^1 + 1* 2^0 
　 
同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道，最高位的权值也是最高的（对于1字节数来说是2的7次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。 

不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比： 

无符号数：                             0 ---------- 255 

有符号数：         -128 --------- 0 ---------- 127 　 

同样是一个字节，无符号的最小值是 0 ，而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数，后者表达的是-128到+127这256个数。 

一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢？ 

有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，只不过它少了一个最高位（见第3点）。但在负值范围内，数值的计算方法不能直接使用1* 26 + 1* 25 的公式进行转换。在计算机中，负数除为最高位为1以外，还采用补码形式进行表达。所以在计算其值前，需要对补码进行还原。

这里，先直观地看一眼补码的形式： 

以我们原有的数学经验，在10进制中：1 表示正1，而加上负号：-1 表示和1相对的负值。 

那么，我们会很容易认为在2进制中（1个字节）： 0000 0001 表示正1，则高位为1后：1000 0001应该表示-1。 

然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表： 

二进制值（单字节） 十进制值 
1000 0000                  -128 
1000 0001                  -127 
1000 0010                  -126 
1000 0011                  -125 
... ... 
1111 1110                   -2 
1111 1111                   -1 

首先我们看到，从-1到-128，其二进制的最高位都是1，正如我们前面的学。 

然后我们有些奇怪地发现，1000 0000 并没有拿来表示 -0；而1000 0001也不是拿来直观地表示-1。事实上，-1 用1111 1111来表示。 

怎么理解这个问题呢？先得问一句是-1大还是-128大？ 

当然是 -1 大。-1是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是字符类型，或者是整数类型，也无论这个整数是几个字节。它都用全1来表示 -1。比如一个字节的数值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和现实中的计算结果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。这样一直减下去，当减到只剩最高位用于表示符号的1以外，其它低位全为0时，就是最小的负值了，在一字节中，最小的负值是1000 0000，也就是-128。

我们以-1为例，来看看不同字节数的整数中，如何表达-1这个数： 

字节数 二进制值                                                                   十进制值 
单字节数 1111 1111                                                               -1 
双字节数 1111 1111 1111 1111                                             -1 
四字节数 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111         -1 
　 
可能有同学这时会混了：为什么 1111 1111 有时表示255，有时又表示-1？所以我再强调一下本节前面所说的第2点：你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时，指定一个量是有符号的，那么当这个量的二进制各位上都是1时，它表示的数就是-1；相反，如果事选声明这个量是无符号的，此时它表示的就是该量允许的最大值，对于一个字节的数来说，最大值就是255。 

另外：
128 =1000 0000,8位机器
[-128]原码 = 1000 0000 发生了溢出，最高位表示符号位：0为正数，1为负数 
[-128]反码 = 1111 1111 除符号位外，各位取反 
[-128]补码 = 1000 0000 反码的末位加1，不能影响符号位