四元數與旋轉

http://caterpillar.onlyfun.net/Gossip/ComputerGraphics/QuaternionsRotate.htm

在討論「四元數」之前，我們來想想對三維直角座標而言，在物體旋轉會有何影響，可以擴充三維直角座標系統的旋轉為三角度系統（Three-angle system），在Game Programming Gems中有提供這麼一段：

Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.

簡單的說，三角度系統無法表現任意軸的旋轉，只要一開始旋轉，物體本身即失去對任意軸的自主性。

四元數（Quaternions）為數學家Hamilton於1843年所創造的，您可能學過的是複數，例如：a + b i 這樣的數，其中i * i = -1，Hamilton創造了三維的複數，其形式為 w + x i + y j + z k，其中i、j、k的關係如下：

i² = j² = k² = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k

假設有兩個四元數：

q₁ = w₁ + x₁ i + y₁ j + z₁ k
q₂ = w₂ + x₂ i + y₂ j + z₂ k

四元數的加法定義如下：

q₁ + q₂ = (w₁+w₂) + (x₁+x₂) i + (y₁+y₂) j + (z₁+z₂) k

四元數的乘法定義如下，利用簡單的分配律就是了：

q₁ * q₂ =

(w₁*w₂ - x₁*x₂ - y₁*y₂ - z₁*z₂) +
(w₁*x₂ + x₁*w₂ + y₁*z₂ - z₁*y₂) i +
(w₁*y₂ - x₁*z₂ + y₁*w₂ + z₁*x₂) j +
(w₁*z₂ + x₁*y₂ - y₁*x₂ + z₁*w₂) k

由於q = w + x i + y j + z k中可以分為純量w與向量x i + y j + z k，所以為了方便表示，將q表示為(S, V)，其中S表示純量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元數乘法又可以表示為：

q₁ * q₂ = (S₁ + V₁)*(S₂ + V₂) = S₁*S₂ - V₁.V₂ + V₁XV₂ + S₁*V₂ + S₂*V₁

其中V₁.V₂表示向量內積，V₁XV₂表示向量外積。

定義四元數q = w + x i + y j +ｚ k 的norm為：

N(q) = |q| = x² + y² + z² + w²

滿足N(q) = 1的四元數集合，稱之為單位四元數（Unit quaternions）。

定義四元數定義四元數q = w + x i + y j +ｚk的共軛（Conjugate）為：

q* = 定義四元數q = w - x i - y j -ｚ k = [S - V]

定義四元數的倒數為：

1/ q = q* / N(q)

說明了一些數學，您所關心的或許是，四元數與旋轉究竟有何關係，假設有一任意旋轉軸的向量A(Xa, Ya, Za)與一旋轉角度θ，如下圖所示：


可以將之轉換為四元數：

x = s * Xa
y = s * Xb
z = s * Xc
w = cos(θ/2)
s = sin(θ/2)

所以使用四元數來表示的好處是：我們可以簡單的取出旋轉軸與旋轉角度。

那麼四元數如何表示三維空間的任意軸旋轉？假設有一向量P(X, Y, Z)對著一單位四元數q作旋轉，則將P視為無純量的四元數X i + Y j + Z k，則向量的旋轉經導證如下：

Rot(P) = q p q*

四元數具有純量與向量，為了計算方便，將之以矩陣的方式來表現四元數的乘法，假設將四元數表示如下：

q = [w, x, y, z] = [S, V]

兩個四元數相乘q" = q * q'的矩陣表示法如下所示： 

若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ]，其中u為單位向量，而令q'= [S', V']為一四元數，則經過導證，可以得出q * q' * q^(-1)會使得q'繞著u軸旋轉2θ。

由四元數的矩陣乘法與四元數的旋轉，可以導證出上面的旋轉公式可以使用以下的矩陣乘法來達成： 


講了這麼多，其實就是要引出上面這個矩陣乘法，也就是說如果您要讓向量(x', y', z')（w'為0）對某個單位向量軸u(x, y, z)旋轉角度2θ，則w = cosθ，代入以上的矩陣乘法，即可得旋轉後的(x", y", z")，如果為了方便，轉換矩陣的最下列與最右行會省略不寫出來，而如下所示：


關於四元數的其它說明，您可以參考 向量外積與四元數 這篇文章。

關於旋轉的轉換矩陣導證，在Game Programming Gems第二章有詳細的說明。

關於 Gimbal lock。