spark(A)?
来源:互联网 发布:济南网络电视台直播 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 16:28
Spark of matrices
学过线性代数的你,一定知道矩阵的秩,rank(A), 但是你是否知道矩阵A的另外一个类似的概念:spark(A)?
1)你一定知道,rank(A)=A的列向量组的极大线性无关组所含向量的个数(=A的列秩);
2)而 spark(A)=A的列向量组的极小线性相关组所含向量个数;
看看它们的定义,就知道它们的关系是多么的亲密。遗憾的是,我们对spark(A)知之甚少;
3)对于矩阵的rank,我们有很多结论,这些结论主要来自于矩阵rank的本质:rank(A)反映了矩阵A的整体不变量,它在初等变换下不变;
而spark(A)等价于求解下列的最优化问题:
\[ min ||x||_0 s.t. Ax=0, A\in R^{nxm}, 0\neq x\in R^m (1) \]
4) 问题是:矩阵的任何一种变换都不能用来求解矩阵的spark!!!
5) Furthermore, 上述优化问题为一个NP-hard问题!
6)如何求解(1)? Do you have any idea?
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