欧拉函数及其延伸

原文地址：欧拉函数及其延伸 作者：依然

欧拉函数：少于或等于n的数中，与n互质的数的数目。（互质：最大公因数为1）

通式：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，,其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1) = 1。
例如：12 = 2*2*3， 那么φ(12) = 12*(1-1/2)*(1-1/3) = 4，因为1,5,7,11均和12互质。
           8 = 2*2*2， 那么φ(8) = 8*(1-1/2) = 4，因为1,3,5,7均和8互质。
           7 = 7，     那么φ(7) = 7*(1-1/7) = 6，因为1,2,3,4,5,6均和7互质。
           21 = 3*7，   那么φ(21) = 21*(1-1/3)*(1-1/7) = 12....
性质：1：若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
　　   2：欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。如15和8互质，则 φ(120)=φ(15)φ(8)。
　　   3：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 如φ(30)=φ(15)，证明于上述类似。
 
        欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是φ(x) * x / 2。
 
求欧拉函数的模板：

__int64 phi(__int64 n){    __int64 ans = n;    for(int i = 2; i * i <= n; i ++)        if(n % i == 0){            ans -= ans / i;            while(n % i== 0)                n /= i;        }    if(n > 1) ans -= ans / n;    return ans;}