0/1背包问题

 

题目

　　有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

　　这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

　　用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

　　注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

优化空间复杂度

　　以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(N)。

　　先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？

　　f[i][v]是由f[i-1][v]和f [i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v -c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

　　for i=1..N

　　for v=V..0

　　f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

　　其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的

　　f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

C++示例程序

　　// BY 刘抟羽

　　#include "stdafx.h"

　　#include <iostream>

　　using namespace std;

　　#define MAXSIZE 1000

　　int f[MAXSIZE + 1], c[MAXSIZE + 1], w[MAXSIZE + 1];

　　int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

　　{

　　int N, V;

　　cin >> N >> V;

　　int i = 1;

　　for (; i <= N; ++i)

　　{

　　cin >> c[i] >> w[i];

　　}

　　for (i = 1; i <= N; ++i)

　　{

　　for (int v = V; v >= c[i]; --v) //c[i]可优化为bound, bound = max {V - sum c[i,...n], c[i]}

　　{

　　f[v] = (f[v] > f[v - c[i]] + w[i] ? f[v] : f[v - c[i]] + w[i]);

　　}

　　}

　　//当i=N时，可以跳出循环单独计算F[V]

　　cout << f[V] << '\n';

　　system("pause");

　　return 0;

　　}

C++递归实现

　　//现在设A[i][v]表示在剩余空间为v时选取当前物品i的最大值，B[i][v]表示不选取当前物品i的最大值，所以总的最大值必然是max(A[n][v], B[n][v]),详细程序见如下：

　　//BY wanda1416

　　#include <fstream>

　　#includusing namespace std;

　　#define MAXSIZE 1000

　　int A[MAXSIZE+1][MAXSIZE+1],B[MAXSIZE+1][MAXSIZE+1];

　　int c[MAXSIZE+1],w[MAXSIZE+1];

　　int F(int n,int v){

　　if(n==0) return 0;

　　if( !A[n][v] && v >= c[n])

　　A[n][v] = F(n-1,v-c[n]) +w[n];

　　if(!B[n][v]) B[n][v] = F(n-1,v);

　　return A[n][v]>B[n][v]?A[n][v]:B[n][v];

　　}

　　int main(int argc, char *argv[])

　　{

　　int n,v;

　　memset(A,0,sizeof(A));

　　memset(B,0,sizeof(B));

　　ifstream in("in.txt");

　　ofstream out("out.txt");

　　in>>n>>v;

　　for(int i=1;i<=n;i++)

　　in>>c[i]>>w[i];

　　out<<F(n,v);

　　return 0;

　　}　

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转载自百度百科－－http://baike.baidu.com/view/841810.htm