搞懂线段树

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前段时间写了篇“搞懂树状数组”，如果说树状数组是优雅的，那么线段树就是万能的。有句话就叫：树状数组能做的线段树都能做，但是树状数组能做的坚决用树状数组！因为线段树本来的内容狠丰富的，主要有单点跟新、区间跟新，最值询问、区间询问…………反正就是对于区间进行的动态跟新询问都能较高效的完成。

对于初学者，一定要明白一点：线段树就是一种可以较高效的动态的对区间进行跟新查询！至于它具体能干哪些事取决于你树里所存储的信息量！不要一开始就想要什么通用的模板，模板可能有，但是如果你不理解它，恐怕也用的不顺心。其实，线段树的实现本省代码量不是很大，复杂性也不是很高，完全可以每次根据题目具体的需求写出来。当然，前提是自己理解了。先来看一幅图：

它就是一颗完全二叉树，根节点是一个大区间，两个儿子节点是根节点区间一分为二。当然，最重要的东西图中并没有体现出来，它只是描述了节点之间的逻辑关系，而我没实现它的时候一般都要为节点（即所表示的区间）附加点属性：最大值、最小值、和。。。。

现在我们就要了解如何实现它了，如果每个节点只有一个简单的附加属性，完全可以用数组实现。我们对上面的节点从上到下、从左到右一次标号1、2、……、M，可以看出节点1的两个儿子分别是2和3,以此类推节点i的左右儿子分别是2*i和2*i+1，用位运算可以表示为i<<1和i<<1|1，所以我们可以用一个数组tree[]来表示这个附加属性，而下表则是节点的标号。那么，这个数组申请多大合适呢？根据树的理论，如果区间范围是[0,N-1]，则M=2*N+1，这个很容易验证，自己可以试试。接下来就要考虑有哪些操作了，一般来说有三个操作：建树、更新、查询。

比如对于单点更新，查询某个区间的最大值，可以用下面的代码简单实现

int tree[2*MAX_N+1];/*建立以k为根节点[L,H]为操作区间的线段树*/void built_tree(int k, int L, int H){if(L == H){scanf("%d", &tree[k]);return ;}built_tree(k << 1, L, (L + H) << 1);built_tree(k << 1 | 1, (L + H) << 1 | 1, H);}/*在根节点为k，[L,H]为操作区间的线段树里对id处的值更新为key*/int update_tree(int k, int L, int H, int id, int key){if(L == H){tree[k] = key;return ;}if(id < (L + H)/2)update(k*2, L, (L + H)/2, id, key) ;elseupdate(K*2 + 1, (L + H)/2 + 1, H, id, key);tree[k] = MAX(tree[k*2], tree[2*k + 1]);}/*在根节点为k，[L,H]为操作区间的线段树里查询区间[beg,end]的最大值*/int read_tree(int k, int L, int H, int beg, int end){if(beg > H || end < L) return -INT_MAX;if(beg <= L && end >= H) return tree[k];return MAX(read_tree(2*k, L, (L + H)/2, beg, end),read_tree(2*k + 1, (L + H)/2 + 1, H, beg, end));}

用的是递归实现的，复杂度都是O(lgn)，可能有人就疑问了，为什么用线段树就能节省时间呢？其实也不能算节省，它把时间平均了，避免了“尖端分子”影响整个性能！比如，如果我们不用线段树，用一段方法实现的话，那么更新操作其实是O(1)的复杂度，而查询和建树就变成了O(n)了。还有，线段树也多牺牲了点内存，这就是有得必有失嘛～

上面的例子是每个节点只有一个属性的情况，加入现在有多个属性呢？那么tree[]的值表示什么呢？除非你再定义一个tree_other[]。其实更好的写法是用链表实现，这样每个链表里就可以包含多个属性了，我们把上面的例子用链表再写一下，目的是为了搞明白，而不是给大家提供模板！因为给的代码我也是现场写的。

typedef struct _Tree{int L, H;struct _Tree *left, *right;int mmax;/* ...other properties */}Tree;Tree *init_tree(int L, int H){Tree *treeP = (Tree *)malloc(sizeof(Tree));treeP->H = H;treeP->L = L;if(L == H){ treeP->left = NULL;treeP->right = NULL;scanf("%d", &treeP->mmax);}else{treeP->left = init_tree(L, (L + H)/2);treeP->right = init_tree((L + H)/2 + 1, H);treeP->mmax = MAX(treeP->left->mmax, treeP->right->mmax);}return treeP;}void update(Tree *root, int id, int key){if(root->H == root->L){root->mmax = key;return ;}if(id < (root->H + root->L)/2){update(root->left, id, key);} else{update(root->right, id, key);}root->mmax = MAX(root->left->mmax, root->right->mmax);}int read(Tree *root, int beg, int end){if(beg > root->H || end < root->L) return -INT_MAX;if(beg <= root->L && end >= root->H) return root->mmax;return MAX(read(root->left, beg, end), read(root->right, beg, end));}

其实，写法都差不多，记住：不是为了给模板，只是为了帮助理解，因为写的确实不是很养眼。。。

其实，如果把上面的都理解的差不多的话，线段树算基本掌握了吧。但是，还有个东西，有必要提一下：在进行区间更新的时候，有个懒操作的技巧。解释一下：就是每个节点增加了一个属性，用来记录这个对应的区间是否被更新过（或更新过多少）。这样，在每次更新操作的时候不用马上一直递归更新下去，只有等到下次更新或查询的时候才顺带的更新到下一级。这个实现的话，就是在链表里增加一个属性，每次更新或查询的时候都要判断是否被标记（即之前这个区间是否被更新过），如果标记有效，则把它的两个儿子节点对应的区间也标记了。这其实也是一种平均的作用，避免“极端分子”。

差不多了吧，就写到这吧，有点感冒不舒服，以后如果想到什么再添加吧～