动态规划总结

学习动态规划有一段时间了，总结一下，开始新的算法

一、为什么要使用动态规划？

当回溯效率太低的时候，动态规划是个不错的选择，因为它是不断建立在最优状态上的递推，得出最终结果。

二、动态规划两大标志：

1）最优子结构：一个问题的最优解包含子问题的最优解，这个性质被称为最优子结构

2）重叠子问题：不同问题包含相同的子问题。即：原问题不断分解成同样的子问题，而不是产生新的问题。

重点：重叠子问题和子问题独立性的区别：首先来举个例子：图中有a、b、c、d四个顶点，他们之间存在若干条路径，求从a到d的最短路径，这个可以使用动态规划来实现。但如果求从a到b的最长路径，则不能使用动态规划，因为设存在a--->b--->d，所以原问题分解成a--->b和b--->d的两个子问题。而对于a--->b子问题中可能会包含d节点，这回影响b--->d这个子问题的结果。大家明白了吧，子问题独立性要求是：对于同一个问题的子问题相互独立。这就是与重叠子问题的区别，重叠子问题是相对于不同问题的子问题的。至于最长路径问题好像用到什么NP完全性（难道就是集合上的动态规划？！），暂时还不理解。

三：动态规划解题关键：

通过分析数据，找到状态，然后找到其中的状态转移方程，然后问题解决。

具体实现有两种方法：

1）记忆化搜索：简便、而且思路会很清晰。针对性计算，这是递归的主要好处，从顶到底。

2）递推：无需递归的代价，但可能会计算一些不必要的值，从底到顶。

四：主要题型：

1）DAG模型（即有向无环图），如：最长最短路径问题

2）多阶段决策问题，如：0-1背包问题，最优矩阵，最长公共子序列，最优搜索二叉树

3）集合上的动态规划（状态压缩）：如：状态中涉及到“除了一些点之外”类问题，和棋盘和网格中的某些问题（一行一行进行递推）

做题时的一些小技巧：如果要求输出字典序最小的，状态转移最好从前向后进行递推。

位运算的运算级比较低，所以应多用括号。

五：动态规划的效率？

依赖于子问题的个数和每一个子问题中有多少的选择，两者的乘积即为算法的效率。

小小的感悟：永远不要认为你这道题没有做过，做不出来，从题中给出的数据开始，硬是找出两个状态寻找它们之间的联系，用笔画到本上，思路就会出来了。关键是找到状态转移方程。其中用到的一个小技巧，但是一般不会注意到就是：开始可以假设一个状态已知，然后开始分析，向前或者向后都可以。“剪贴”来确保你找到的是最优解，这个证明的时候会用到，但是解题的时候很少用。

OK了，参见：《算法导论》《算法导论入门经典》

六、补充：

1、专题训练动态规划总结：

①动态转移方程中两种形式，d[i][j]，一种是必包含第i状态，一种是前j个状态。poj1024中利用前者，优化算法。

②临界状态处理，如果简单处理不可以，则使用if语句判定，结合使用。

③滚动数组中的空间和时间优化。poj1024

④尽量少使用递归。

2、01背包的几种情况

①求最大价值，包不必放满，初始化：memset(d, 0, sizeof(d));

②求最小价值，包不必放满，初始化：

for j = 1...N

d[j] = INF;

d[0] = 0;

③求最大价值，包必须放满，初始化：

for j = 1...N

d[j] = -INF;

d[0] = 0;

3、树形DP

把根的所有子节点看作很多层，选择该子树，或者不选择，于是就可以转变为01背包问题，只是需要在更新前，首先需要对子树更新完成。递归实现即可。

一般，使用d[i]表示以i节点为根节点，并必然包含i节点，会更好处理问题。