算法导论学习笔记（15）——用于不相交集合的数据结构

 用于不相交集合的数据结构

总结：这一章讲了并查集的相关概念，以及主要的MAKE-SET, UNION, FIND-SET操作，并给出了并查集的链表表示和森林表示方式。

1.    不相交集合上的操作

不相交集合数据结构保持一组不相交的动态集合，每个集合通过一个代表来标识，代表即集合中的某个成员。

一些操作：

MAKE-SET(x): 建立一个新的集合，其唯一成员为x。

UNION(x,y): 将包含x和y的动态集合合并为一个新的集合。

FIND-SET(x): 返回一个指针，指向包含x的集合的代表。

应用：例如，确定一个无向图中连通子图的个数。

2.    不相交集合的链表表示

每一个集合用一个链表表示。每个链表中的第一个对象作为它所在集合的代表。

每一个对象的结构：

1）集合成员

2）指向包含下一个集合成员的对象的指针

3）指向代表的指针

每个链表都包含head指针和tail指针，head指向链表的代表，tail指向链表中最后的对象。

MAKE-SET(x): O(1)，创建新链表，其仅有对象为x

FIND-SET(x): O(1)，返回x指向代表的指针

UNION(x,y): 将x所在的链表拼接到y所在链表的表尾。注意，对于原先x所在链表中的每一个对象，都需要更新其指向代表的指针。

加权合并启发式策略：设每个表还包括了表的长度，合并时，总是把较短的表拼到较长的表上。

使用加权合并策略，对m个MAKE-SET, UNION和FIND-SET操作所构成的序列（其中n个MAKE-SET操作，因此UNION操作的次数至多为n-1），花费的总时间为O(m+nlgn)。

3.    不相交集合森林

利用有根树来表示集合，每棵树表示一个集合。树中的每个成员仅指向其父节点，树的根的父节点仍是自己，且树的根即集合的代表。

启发式策略：

1）按秩合并

合并时，使包含较少结点的树的根指向包含较多结点的树的根。秩，结点高度的上界。因此，即，具有较小秩的根在UNION操作中要指向具有较大秩的根。

2）路径压缩

在FIND-SET操作中，使查找路径上的每个结点都直接指向根节点。

设rank[x]表示结点的秩，即x的高度的上界，p[x]表示x的父节点

伪代码

MAKE-SET(x)

p[x] <- x

rank[x] <- 0

伪代码

UNION(x,y)

LINK(FIND-SET(x),FIND-SET(y))

伪代码

LINK(x,y)

if rank[x] > rank[y]

      then p[y] <- x

      else p[x] <- y

            if rank[x]=rank[y]

                 then rank[y] <- rank[y]+1

伪代码

FIND-SET(x)

if x!=p[x]

      then p[x] <- FIND-SET(p[x])

return p[x]

FIND-SET采用了两趟方法：一趟沿查找路径上升，直至找到根；第二趟沿查找路径下降，以便更新每个结点，使之直接指向根。

分析：当同时采用按秩合并和路径压缩时，对m个MAKE-SET, UNION, FIND-SET的操作序列，总的运行时间可看作与m成线性关系。

附录：

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1. typedef struct _node 
2. { 
3.     _node* parent; 
4.     int rank; 
5. }node; 
6.  
7. node *s[5000]; 
8.  
9. void makeSet(int x) 
10. { 
11.     s[x]=new node; 
12.     s[x]->rank=0; 
13.     s[x]->parent=s[x]; 
14. } 
15.  
16. node* findSet(node* s) 
17. { 
18.     if(s!=s->parent) 
19.     { 
20.         s->parent=findSet(s->parent); 
21.     } 
22.     return s->parent; 
23. } 
24.  
25. void link(node *s1, node *s2) 
26. { 
27.     if(s1==s2) 
28.         return; 
29.     if(s1->rank > s2->rank) 
30.         s2->parent=s1; 
31.     else 
32.     { 
33.         s1->parent=s2; 
34.         if(s1->rank==s2->rank) 
35.             s2->rank++; 
36.     } 
37. } 
38.  
39. void _union(node *s1, node *s2) 
40. { 
41.     link(findSet(s1),findSet(s2)); 
42. }