关于中国剩余定理适用性的一个猜想
来源:互联网 发布:一起作业软件下载 编辑:程序博客网 时间:2024/05/27 10:43
关于中国剩余定理的一个猜想:
对于任意大于1且两个互质的正整数,总存在这样的数,无论它除以这两个正整数的余数是几,都能够用中国剩余定理找出所有解。
表述为:
对于n,m,(n, m) = 1,n > 1, m > 1, 判断:对于任意的正整数r, s, 1 <= r < n, 1 <= s < m, 是否总存在这样的正整数满足除以n余r,除以m余s?若有,如何求?
证明并求解:
令y = k * n + r = l * m + s (1)
问题等价于证明存在这样的y并能够求解。
其中,
k, l是非负整数,
k = 0, 1, 2, 3, ...
l = 0, 1, 2, 3, ...
0 <= r < n 且 r = 0, 1, 2, ..., n - 1
0 <= s < m 且 s = 0, 1, 2, ..., m - 1
由中国剩余定理可知,只需找到这样的 min y, 则其余解可求。
令k * n = q * m + t,
其中
q = 0, 1, 2, 3, ...
t = 0, 1, 2, ..., m - 1
由此可知,k由q和t确定,记为 k <- (q, t)
则(1)式可化为
q * m + t + r = l * m + s
即
s - r = (q - l) * m + t (2)
令p = q - l,
p 为整数,
p = 0, 1, -1, 2, -2, ...
则(2)式变为
s - r = p * m + t (3)
由此可知必存在这样的(p, t)满足(3)式。
则由q = p + l 知可由l确定q,记为 q <- (p, l)。
则k可求,即
k <- (q <- (p, l), t)
l
/
q <-
/ \
/ p
k <-
\
t
综上,存在这样的非负整数(k, l)使得(1)式成立。
最终可知命题成立。
对于任意大于1且两个互质的正整数,总存在这样的数,无论它除以这两个正整数的余数是几,都能够用中国剩余定理找出所有解。
表述为:
对于n,m,(n, m) = 1,n > 1, m > 1, 判断:对于任意的正整数r, s, 1 <= r < n, 1 <= s < m, 是否总存在这样的正整数满足除以n余r,除以m余s?若有,如何求?
证明并求解:
令y = k * n + r = l * m + s (1)
问题等价于证明存在这样的y并能够求解。
其中,
k, l是非负整数,
k = 0, 1, 2, 3, ...
l = 0, 1, 2, 3, ...
0 <= r < n 且 r = 0, 1, 2, ..., n - 1
0 <= s < m 且 s = 0, 1, 2, ..., m - 1
由中国剩余定理可知,只需找到这样的 min y, 则其余解可求。
令k * n = q * m + t,
其中
q = 0, 1, 2, 3, ...
t = 0, 1, 2, ..., m - 1
由此可知,k由q和t确定,记为 k <- (q, t)
则(1)式可化为
q * m + t + r = l * m + s
即
s - r = (q - l) * m + t (2)
令p = q - l,
p 为整数,
p = 0, 1, -1, 2, -2, ...
则(2)式变为
s - r = p * m + t (3)
由此可知必存在这样的(p, t)满足(3)式。
则由q = p + l 知可由l确定q,记为 q <- (p, l)。
则k可求,即
k <- (q <- (p, l), t)
l
/
q <-
/ \
/ p
k <-
\
t
综上,存在这样的非负整数(k, l)使得(1)式成立。
最终可知命题成立。
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