拓扑排序

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

拓扑排序(Topological Sort)

什么是拓扑序列

　　通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。离散数学中关于偏序和全序的定义：

　　若集合X上的关系是R是自反的、反对称的和传递的，则称R是集合X上的偏序关系。

　　设R是集合X上的偏序（Partial Order）,如果对每个x,y属于X必有xRy 或 yRx，则称R是集合X上的全序关系。

　　注意：

　　①若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。

　　②若图中存在有向环，则不可能使顶点满足拓扑次序。

　　③一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。

举例

　　【例】对如上学生选课工程图进行拓扑排序, 得到的拓扑有序序列为

　　C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C8 , C9 , C7

　　或 C1 , C8 , C9 , C2 , C5 , C3 , C4 , C7 , C6

　　【例】一本书的作者将书本中的各章节学习作为顶点，各章节的先学后修关系作为边，构成一个有向图。按有向图的拓扑次序安排章节，才能保证读者在学习某章节时，其预备知识已在前面的章节里介绍过。

　　④一个DAG可能有多个拓扑序列。

实现的基本方法

　　拓扑排序方法如下:

　　(1)从有向图中选择一个没有前驱(即入度为0)的顶点并且输出它.

　　(2)从网中删去该顶点,并且删去从该顶点发出的全部有向边.

　　(3)重复上述两步,直到剩余的网中不再存在没有前趋的顶点为止.

拓扑序列 C++核心代码

　　bool TopologicalSort(int a[][101]) //可以完成拓扑排序则返回True

　　{

　　int n = a[0][0], i, j;

　　int into[101], ans[101];

　　memset(into, 0, sizeof(into));

　　memset(ans, 0, sizeof(ans));

　　for (i = 1; i <= n; i++)

　　{

　　for (j = 1; j <= n; j++)

　　{

　　if (a[i][j] > 0)

　　into[j]++;

　　}

　　}

　　into[0] = 1;

　　for (i = 1; i <= n; i++)

　　{

　　j = 0;

　　while (into[j] != 0)

　　{

　　j++;

　　if (j > n)

　　return false;

　　}

　　ans[i] = j;

　　into[j] = -1;

　　for (int k = 1; k <= n; k++)

　　{

　　if (a[j][k] > 0)

　　into[k]--;

　　}

　　}

　　for (i = 1; i <= n; i++)

　　{

　　cout << ans[i] << " ";

　　}

　　cout << endl;

　　return true;

　　}