典型的dijkstra HDU 2680 Choose the best route

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2680

题目大意：一个笨蛋要坐车去朋友家，但坐车呕吐，所以想在最短时间内到达。

测试数据意思：

第一行三个数：n(车站的个数，n<1000)  |  m(代表车站之间所有线路的总个数)  | s(代表离朋友家最近的车站)

下面有m行:   p q t   意思是：一条从p到q的线路，花费t时间

m行之后有个数字：w (代表可以在开始时搭乘的车站)

下面w个数W1,W2....Ww就是车站的编号

解题报告：

从题意看，我们可以反过来看。看成是：从要到达的车站s到可以搭车的车站w...反正不管正着看，还是反着看，就是求点到点的最短路径问题，而且没有负权值(为什么要没有负权值呢，下面讲)，明显用dijkstra(混蛋，不懂的话，看下数据结构书p187)。

思路：你想啊笨蛋

如果存在一条从i到j的最短路经(pi,.......pk,pj),那么(p1.......pk)必然是一条从i到k的最短路经，否则的话，(pi.....pk,pj)不可能成为从i到j的最短路径。为了求出最短路径，dijkstra提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法；

什么意思呢？ 大致意思就是：对于原顶点V0,首先选择其直接相邻的顶点中最短的顶点Vi，那么可知：由V0经过Vi到与Vi直接相邻的顶点Vj的最短距离dis[j] = min(    map[V0][j] ,    dis[i] + map[i][j]) 这句最重要了，什么意思呢？就是要么直接到，要么转一下再到。(觉得很熟悉，在动态规划或贪心时，见过)

所以：

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dis[i]记录V0到i的最短距离 ，map[i][j]记录i到j的距离

1.从V-U中dis[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dis值。(dist[j]=min{map[V0][j],dis[i]+map[i][j]})

3.直到U=V，停止。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define M 2002    //这个地方太坑爸爸了，按照题目上我设成20002居然没执行函数体，直接return 啦#define N 1002    //这些看题目数据范围#define INF 999999int n,m,s;int map[M][M];    //map[i][j]表示i到j的权值int dis[N];        //dis[i] 表示原点s到i的距离int visit[N];      //顶点是否被访问过void dijkstra(int s){    int i,j,k = 0;    int min;    memset(visit,0,sizeof(visit));  //初始时都没被访问过    for(i = 1; i <=n; i++)    {        dis[i] = map[s][i];    }    visit[s] = 1;  //第一个顶点即原点，被访问    dis[s] = 0; //s到s 即为0    for(i = 1; i < n; i++)    {        min = INF;        //找到最小的        for (j = 1; j <= n; j++)        {            if ( !visit[j] && dis[j] < min)            {                min = dis[j];                k = j;   //最小的顶点            }        }        if (min == INF)        {            break;        }        visit[k] = 1; //k顶点被访问        //这里就是比较：直接到还是转一下再到        //我猜，你个笨蛋肯定会问：不能转多下吗？        //答曰：从源点一个一个向外扩展，具有最优子结构。每个dis[i]都保留着从s到i的最短距离。转多下的情况把它分解开，就知道了        for(j = 1; j <= n; j++)           {            if ( !visit[j] && dis[j] > dis[k] + map[k][j])            {                dis[j] = dis[k] + map[k][j];            }        }    }    return ;}int main(){    int i,j;    int p,q,t,w;    int  minx ,ww;    while ( scanf("%d %d %d",&n,&m,&s) != EOF)    {        memset(dis,0,sizeof(dis));        for (i = 1; i<= n; i++)            for(j = 1; j <= n; j ++)            {                map[i][j] = INF;            }        for(i = 1; i <= m; i++)        {            scanf("%d%d%d",&p,&q,&t);            if(t < map[q][p])     //题目上明明说的t <= 1000的，尼玛不加就错。以后保险起见要加啊                map[q][p] = t;   //注意啊啊啊啊啊啊,因为是把S(目的地)看成源点，所以有向图方向要反过来啊        }        dijkstra(s);        scanf("%d",&w);        minx = INF;        for (i = 1; i <=w; i++ )  //找到最小的dis        {            scanf("%d",&ww);            if (minx > dis[ww])            {                minx = dis[ww];            }        }        if ( minx != INF)        {            printf("%d\n",minx);        }        else        {            printf("-1\n");        }    }    return 0;}

然后解释：为什么dijkstra为什么不能有负权值？？？

比如：相邻顶点i，j这两个顶点之间的边map[i][j] < 0，那么当V0到Vi的最短路径为dis[i]时，那dis[j]怎么算呢？

按我们的dijkstra算法该是dist[j]=min{map[V0][j],dis[i]+map[i][j]}那么明显，当计算dis[i]时，i顶点已经加入了最短路径的集合U中，U中的最短路径及其长度是不会再变更的，因为visit[i] 已经被访问过变为1。。。dis[i] 再加上一个负数是小于dis[i]的，而算dis[i]时有可能该有j再到i的(这里具体解释一下：按自己理解，把扩展i，j之前所有的顶点看成a，若a到i权值为10，a到j权值为20，i到j权值为-100，那么接下来a必定要先到i得到dis[i]，这之后dis[i]就不能再更改了，然后再由{a,i}到j，但这时会发现：如果由a到j再到i，那么dis[i]会更小，所以这里就出现了错误。再所以，就不能有负权值啊)。

那如果有负权值，怎么搞呢？

可以用    Bellman-Ford算法。

如何保存路径呢？

倒过来想就好了，比如：从源点a经过很多很多步到达了b，然后经过一步到达了终点c，那么此时我们反着想，倒着走，如果满足

dis[b]+Cost[b][c])==dis[c]这个条件，就说明b必然在路径中。。。。

看代码比较清楚点。。。。

#include <cstdio>#include <iostream>#define BIG 5#include <cstring>#define MIN(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))#define N 6#define INF 1000005using namespace std;int q[N+1],dis[N+1],vis[N+1],a,b,cnt;int Cost[N+1][N+1]={    {0,0,0,0,0,0},    {0,0,20,15,INF,INF,INF},    {0,2,0,INF,INF,10,30},    {0,INF,4,0,INF,INF,10},    {0,INF,INF,INF,0,INF,INF},    {0,INF,INF,INF,15,0,INF},    {0,INF,INF,INF,4,10,0}};//int sp[10];int index = 0;void dijstra(int u){    memset(vis,0,sizeof(vis));    for (int i=0; i<=N; i++)        dis[i]=INF;    dis[u]=0;    vis[u] =0;    for (int i=1; i<N; i++)    {        int _MIN=INF;        for (int j=1; j<=N; j++)            if (!vis[j] && dis[j]<_MIN)            {                _MIN=dis[j];                u=j;            }        vis[u]=1;        for (int j=1; j<=N; j++)            if (!vis[j] && dis[j]>dis[u]+Cost[u][j])                dis[j]=dis[u]+Cost[u][j];    }}void Getpath(int u){    q[++cnt]=u;    if (u==a)    {        for (int i=cnt; i>1; i--)        {            cout<<q[i]<<"->";           // sp[index++] = q[i];        }        cout<<q[1]<<endl;        cnt--;        return ;    }    for (int i=1; i<=N; i++)        if (i!=u  && dis[i] < INF && (dis[i]+Cost[i][u])==dis[u])        {            Getpath(i);        }    cnt--;}int main(){    printf("输入起点和终点：\n");    while (scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)    {        //sp[1] = a;        cnt=0;        if(a == b)        {            printf("0\n");            continue ;        }        dijstra(a);          if(dis[b] >= INF)        {            printf("无路可走~\n");            continue;        }        Getpath(b);    }    return 0;}